Questão 9: INTERPRETAÇÃO ANALÍTICA DO MÉTODO DE MULTIPLICADORES: Em sala de aula vimos que o multiplicador para o problema de restrição de igualdade tem a seguinte interpretaçāo \lambda_{j}(b)= \partial f^{*}(b) / \partial b_{j} onde f^{*}(b) é o valor da função objetivo em \boldsymbol{x}^{*} que é solução do problema max f(\boldsymbol{x}) s.a g_{j}(x)=b_{j}, j=1, \ldots, m. Considerando o exemplo max x^{2}+y^{2}+z^{2} s.a x^{2} /\left(c_{1}+c_{2}+4\right)+y^{2} /\left(c_{3}+c_{4}+9\right)+ z^{2} /\left(c_{1}+c_{4}+16\right)=b(b>0) verifique a interpretação do multiplicador mencionada acima.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (tudo que vem do enunciado):
  • A função objetivo é f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
  • Há uma única restrição de igualdade com parâmetro b>0:
\frac{x^{2}}{c_{1}+c_{2}+4}+\frac{y^{2}}{c_{3}+c_{4}+9}+\frac{z^{2}}{c_{1}+c_{4}+16}=b.
  • Vou definir, para simplificar a escrita, as quantidades positivas
A := c_{1}+c_{2}+4,\qquad B := c_{3}+c_{4}+9,\qquad C := c_{1}+c_{4}+16.
Essas três são os denominadores que aparecem na restrição (assume-se positivos).
  • O enunciado pede para verificar a interpretação do multiplicador: mostrar que o multiplicador lagrangeano \lambda(b) associado a essa restrição é igual a \dfrac{d f^{*}(b)}{d b}, onde f^{*}(b) é o valor ótimo máximo de f dado o valor b da restrição.

Passo 2

Reescrevendo o problema numa forma mais clara e fazendo uma mudança de variáveis útil.
  • Problema: maximizar x^{2}+y^{2}+z^{2} sujeito a
\frac{x^{2}}{A}+\frac{y^{2}}{B}+\frac{z^{2}}{C}=b.
  • Faça a mudança de variáveis
u := \frac{x}{\sqrt{A}},\qquad v := \frac{y}{\sqrt{B}},\qquad w := \frac{z}{\sqrt{C}}.
Essa mudança é meramente reescrever em termos das quantidades normalizadas; note que u^{2},v^{2},w^{2}\ge 0.
  • Em termos de (u,v,w) a restrição fica simples:
u^{2}+v^{2}+w^{2}=b.
  • Em termos de (u,v,w) a função objetivo fica
x^{2}+y^{2}+z^{2}=A u^{2}+B v^{2}+C w^{2}.
Portanto, o problema equivalente é: dado que u^{2}+v^{2}+w^{2}=b, maximizar
A u^{2}+B v^{2}+C w^{2}.

Passo 3

Intuição e argumento rigoroso sobre onde está o máximo.
  • Para um vetor (u,v,w) com u^{2}+v^{2}+w^{2}=b, a quantidade A u^{2}+B v^{2}+C w^{2} é uma soma ponderada dos termos u^{2},v^{2},w^{2} com pesos A,B,C.
  • Suponha, sem perda de generalidade, que A seja o maior dos três pesos, isto é A=\max\{A,B,C\}. Então, porque v^{2},w^{2}\ge 0,
A u^{2}+B v^{2}+C w^{2} \le A u^{2}+A v^{2}+A w^{2} = A(u^{2}+v^{2}+w^{2}) = A b.
Logo, para qualquer (u,v,w) admissível a soma ponderada não ultrapassa A b. Assim A b é uma cotasuperior do valor ótimo.
  • A cotasuperior é atingida escolhendo v=0, w=0 e u^{2}=b (ou seja u=\pm\sqrt{b}), o que é compatível com a restrição. Nesses pontos:
A u^{2}+B v^{2}+C w^{2} = A b.
Portanto o máximo é exatamente A b quando A é o maior peso.
  • Conclusão lógica: o valor ótimo do problema é
f^{*}(b)= b\cdot \max\{A,B,C\}.
(Se houver empate entre dois ou três dos pesos máximos, qualquer distribuição de energia entre as coordenadas correspondentes alcançando u^{2}+v^{2}+w^{2}=b e colocando toda a massa nas coordenadas de maior peso atinge o mesmo valor ótimo — caso degenerado, veremos abaixo.)

Passo 4

Determinar explicitamente as soluções x^{*},y^{*},z^{*} e calcular o multiplicador \lambda pelo Lagrangiano; mostrar que coincide com \dfrac{d f^{*}}{d b}.
  • Suponha que A seja o maior peso estritamente, isto é A>\max\{B,C\}. Pelo passo anterior, o ótimo ocorre quando v=0,w=0 e u=\pm\sqrt{b}. Voltando às variáveis originais,
x^{*} = \pm \sqrt{A}\,\sqrt{b},\qquad y^{*}=0,\qquad z^{*}=0.
  • Agora calcule o multiplicador via o Lagrangiano do problema original. Escreva
\mathcal{L}(x,y,z,\lambda)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-\lambda\!\left(\frac{x^{2}}{A}+\frac{y^{2}}{B}+\frac{z^{2}}{C}-b\right).
As condições de primeira ordem (derivadas parciais nulas) dão:
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=2x- \lambda\frac{2x}{A}=0, \qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=2y- \lambda\frac{2y}{B}=0, \qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z}=2z- \lambda\frac{2z}{C}=0.
  • Essas equações equivalem a
x\left(1-\frac{\lambda}{A}\right)=0,\qquad y\left(1-\frac{\lambda}{B}\right)=0,\qquad z\left(1-\frac{\lambda}{C}\right)=0.
No caso ótimo anterior temos x^{*}\neq 0 e y^{*}=z^{*}=0. Pela primeira equação segue que, necessariamente,
1-\frac{\lambda}{A}=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = A.
As outras equações são satisfeitas com y^{*}=z^{*}=0 (não exigem \lambda=B nem \lambda=C porque y,z são zeros).
  • Assim, no caso em que A é o maior e é estritamente maior que os outros, o multiplicador Lagrangeano associado à restrição vale \lambda=A.
  • Calcule agora a derivada de f^{*}(b). Como vimos,
f^{*}(b)=b\cdot \max\{A,B,C\}=b\cdot A,
então
\frac{d f^{*}}{d b}=A.
Logo \lambda=\dfrac{d f^{*}}{d b}, como a interpretação pede.

Passo 5

Observações sobre casos degenerados (empates) e coerência geral.
  • Se houver empate, por exemplo A=B>\!C, então qualquer solução com u^{2}+v^{2}=b e w=0 (isto é qualquer combinação de u,v tais que u^{2}+v^{2}=b) atinge o mesmo valor ótimo bA. Nesse caso o multiplicador \lambda obtido nas condições de primeira ordem vale \lambda=A (o mesmo valor comum) e a função ótima é f^{*}(b)=bA, cuja derivada é \dfrac{d f^{*}}{d b}=A. Portanto a identidade \lambda=\dfrac{d f^{*}}{d b} continua válida; o problema é degenerado porque existem múltiplas soluções ótimas, mas o multiplicador (valor) é bem definido e coincide com a derivada lateral.
  • Se todos os três pesos forem iguais A=B=C, então f^{*}(b)=bA e \lambda=A, novamente a relação vale.
  • A hipótese b>0 garante que a solução não é trivial (todas as variáveis zero) e que a troca de variáveis e os argumentos acima fazem sentido.

Passo 6

Resumo didático e interpretação final (estilo “como lembrar na prova”).
  • Transforme a restrição em norma unitarizada definindo u=\dfrac{x}{\sqrt{A}} etc.; a restrição vira uma soma de quadrados fixa u^{2}+v^{2}+w^{2}=b.
  • Com soma de quadrados fixa, a soma ponderada A u^{2}+B v^{2}+C w^{2} atinge o máximo ao alocar toda a “energia” no maior peso. Assim f^{*}(b)=b\max\{A,B,C\}.
  • Pelo método dos multiplicadores, a condição de otimalidade leva a \lambda igual ao peso associado à coordenada ativa (aquela que ficou com toda a massa). Portanto \lambda=\max\{A,B,C\}.
  • Diferenciando a expressão de f^{*}(b) em relação a b \dfrac{d f^{*}}{d b}=\max\{A,B,C\}, que é exatamente \lambda. Isso verifica a interpretação buscada: o multiplicador é a derivada do valor ótimo em relação ao parâmetro do lado direito da restrição.

Resposta

f^{*}(b)=b\cdot\max\{\,c_{1}+c_{2}+4,\;c_{3}+c_{4}+9,\;c_{1}+c_{4}+16\,\}.\n
\lambda(b)=\dfrac{d f^{*}}{d b}=\max\{\,c_{1}+c_{2}+4,\;c_{3}+c_{4}+9,\;c_{1}+c_{4}+16\,\}.

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