Questão 9: INTERPRETAÇÃO ANALÍTICA DO MÉTODO DE MULTIPLICADORES: Em sala de aula vimos que o multiplicador para o problema de restrição de igualdade tem a seguinte interpretaçāo
onde
é o valor da função objetivo em
que é solução do problema max
s.a
. Considerando o exemplo max
s.a
verifique a interpretação do multiplicador mencionada acima.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (tudo que vem do enunciado):
- A função objetivo é
. - Há uma única restrição de igualdade com parâmetro
:
- Vou definir, para simplificar a escrita, as quantidades positivas
Essas três são os denominadores que aparecem na restrição (assume-se positivos).
- O enunciado pede para verificar a interpretação do multiplicador: mostrar que o multiplicador lagrangeano
associado a essa restrição é igual a , onde é o valor ótimo máximo de dado o valor da restrição.
Passo 2
Reescrevendo o problema numa forma mais clara e fazendo uma mudança de variáveis útil.
- Problema: maximizar
sujeito a
- Faça a mudança de variáveis
Essa mudança é meramente reescrever em termos das quantidades normalizadas; note que
.
- Em termos de
a restrição fica simples:
- Em termos de
a função objetivo fica
Portanto, o problema equivalente é: dado que
, maximizar
Passo 3
Intuição e argumento rigoroso sobre onde está o máximo.
- Para um vetor
com , a quantidade é uma soma ponderada dos termos com pesos . - Suponha, sem perda de generalidade, que
seja o maior dos três pesos, isto é . Então, porque ,
Logo, para qualquer
admissível a soma ponderada não ultrapassa
. Assim
é uma cotasuperior do valor ótimo.
- A cotasuperior é atingida escolhendo
, e (ou seja ), o que é compatível com a restrição. Nesses pontos:
Portanto o máximo é exatamente
quando
é o maior peso.
- Conclusão lógica: o valor ótimo do problema é
(Se houver empate entre dois ou três dos pesos máximos, qualquer distribuição de energia entre as coordenadas correspondentes alcançando
e colocando toda a massa nas coordenadas de maior peso atinge o mesmo valor ótimo — caso degenerado, veremos abaixo.)
Passo 4
Determinar explicitamente as soluções
e calcular o multiplicador
pelo Lagrangiano; mostrar que coincide com
.
- Suponha que
seja o maior peso estritamente, isto é . Pelo passo anterior, o ótimo ocorre quando e . Voltando às variáveis originais,
- Agora calcule o multiplicador via o Lagrangiano do problema original. Escreva
As condições de primeira ordem (derivadas parciais nulas) dão:
- Essas equações equivalem a
No caso ótimo anterior temos
e
. Pela primeira equação segue que, necessariamente,
As outras equações são satisfeitas com
(não exigem
nem
porque
são zeros).
- Assim, no caso em que
é o maior e é estritamente maior que os outros, o multiplicador Lagrangeano associado à restrição vale . - Calcule agora a derivada de
. Como vimos,
então
Logo
, como a interpretação pede.
Passo 5
Observações sobre casos degenerados (empates) e coerência geral.
- Se houver empate, por exemplo
, então qualquer solução com e (isto é qualquer combinação de tais que ) atinge o mesmo valor ótimo . Nesse caso o multiplicador obtido nas condições de primeira ordem vale (o mesmo valor comum) e a função ótima é , cuja derivada é . Portanto a identidade continua válida; o problema é degenerado porque existem múltiplas soluções ótimas, mas o multiplicador (valor) é bem definido e coincide com a derivada lateral. - Se todos os três pesos forem iguais
, então e , novamente a relação vale. - A hipótese
garante que a solução não é trivial (todas as variáveis zero) e que a troca de variáveis e os argumentos acima fazem sentido.
Passo 6
Resumo didático e interpretação final (estilo “como lembrar na prova”).
- Transforme a restrição em norma unitarizada definindo
etc.; a restrição vira uma soma de quadrados fixa . - Com soma de quadrados fixa, a soma ponderada
atinge o máximo ao alocar toda a “energia” no maior peso. Assim . - Pelo método dos multiplicadores, a condição de otimalidade leva a
igual ao peso associado à coordenada ativa (aquela que ficou com toda a massa). Portanto . - Diferenciando a expressão de
em relação a dá , que é exatamente . Isso verifica a interpretação buscada: o multiplicador é a derivada do valor ótimo em relação ao parâmetro do lado direito da restrição.