Questão 11: Resolva o problema max 1-(x-1)^{2}-e^{y^{2}} s.a x^{2} / 4+y^{2} / 9 \leq c_{1}+c_{2}+c_{3}+5 usando o método de multiplicadores e justifique o emprego do mesmo. Determine se os Teoremas 3.1 .3 e 3.6 .1 podem ser usados.

Passo 1

O enunciado pede: maximizar a função objetivo
f(x,y)=1-(x-1)^{2}-e^{y^{2}}
sujeito à restrição
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}\le c_{1}+c_{2}+c_{3}+5.
Vou chamar a constante do lado direito de
S := c_{1}+c_{2}+c_{3}+5,
para simplificar a escrita. Assim a região viável é
\Omega=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}\le S\right\}.
As perguntas implícitas são:
  • encontrar o(s) ponto(s) em \Omega que maximizam f e o valor máximo;
  • usar o método dos multiplicadores de Lagrange e justificar seu emprego;
  • dizer se os Teoremas 3.1.3 e 3.6.1 podem ser aplicados (vou explicar quais hipóteses são necessárias e verificar que elas ocorrem aqui).
Não se resolve nada ainda; apenas organizei o que o problema dá e o que pede.

Passo 2

Primeiro passo técnico: ver as propriedades das funções envolvidas e procurar pontos críticos interiores (sem considerar a restrição ativa).
Explicando o que é um ponto crítico: para uma função f diferenciável, um ponto interior da região viável onde o gradiente \nabla f é zero é um candidato a extremo interior. O gradiente é o vetor das derivadas parciais; anular o gradiente significa que não há variação primeira da função nas direções coordenadas.
Calculemos \nabla f. Para
f(x,y)=1-(x-1)^{2}-e^{y^{2}}
temos as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=-2(x-1), \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=-2y\,e^{y^{2}}.
Logo
\nabla f(x,y)=\bigl(-2(x-1),\,-2y\,e^{y^{2}}\bigr).
Anulando o gradiente:
-2(x-1)=0\quad\Rightarrow\quad x=1,
-2y\,e^{y^{2}}=0\quad\Rightarrow\quad y=0,
pois e^{y^{2}}>0 para todo y. Assim o único ponto crítico da função no plano é (1,0). O valor de f nesse ponto é
f(1,0)=1-0-e^{0}=0.

Passo 3

Agora preciso ver se (1,0) é viável, isto é, pertence a \Omega. Calculo o lado esquerdo da restrição em (1,0):
\frac{1^{2}}{4}+\frac{0^{2}}{9}=\frac{1}{4}.
Portanto (1,0)\in\Omega se, e somente se, S\ge\frac{1}{4}.
Mas antes de separar casos, faço uma observação muito útil sobre a função f em todo \mathbb{R}^{2}: para qualquer (x,y),
(x-1)^{2}\ge 0\quad\text{e}\quad e^{y^{2}}\ge 1,
portanto
f(x,y)=1-(x-1)^{2}-e^{y^{2}}\le 1-0-1=0.
Logo f(x,y)\le 0 para todo (x,y), e a desigualdade fica igualidade apenas quando (x-1)^{2}=0 e e^{y^{2}}=1, isto é, somente em (x,y)=(1,0). Conclusão importante: no plano inteiro o máximo global de f é 0 e é atingido unicamente em (1,0).
Isto significa que:
  • se (1,0)\in\Omega (ou seja S\ge 1/4), então (1,0) é o máximo global e, portanto, também o máximo restrito em \Omega; não é necessário apelar ao método dos multiplicadores porque o ponto crítico interior já dá a solução.
  • se (1,0)\notin\Omega (ou seja S<1/4), então o máximo sobre \Omega não pode ser (1,0) e, como \Omega é fechado e limitado (para S finito), o máximo existe e será alcançado na fronteira \partial\Omega, isto é na elipse
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=S.
No caso S<1/4 teremos que procurar o máximo na fronteira: aí o método dos multiplicadores é a ferramenta natural (condições necessárias para extremos sujeitos a restrição de igualdade).

Passo 4

Justificando o uso dos teoremas (comentário didático sobre hipóteses).
  • Sobre existência de máximo (Teorema 3.1.3). Normalmente o teorema que garante existência de máximos e mínimos diz: se f é contínua e a região viável \Omega é compacta (fechada e limitada), então f atinge máximo e mínimo em \Omega. Aqui f é contínua (é C^{\infty}) e, para S finito, a elipse fechada \Omega é fechada e limitada, logo compacta. Portanto as hipóteses desse teorema estão satisfeitas e podemos afirmar que um máximo existe. Conclusão: o (suposto) Teorema 3.1.3 pode ser aplicado desde que se trate desse teorema de existência em conjuntos compactos — e aqui sim, ele se aplica.
  • Sobre os multiplicadores de Lagrange (Teorema 3.6.1). Normalmente o teorema de multiplicadores afirma que, se f e g são C^{1}, e um ponto (x^{*},y^{*}) é um extremo de f sobre a curva g(x,y)=0 e se \nabla g(x^{*},y^{*})\neq 0 (condição de regularidade / qualificadora), então existe \lambda tal que \nabla f(x^{*},y^{*})=\lambda\nabla g(x^{*},y^{*}). Aqui a restrição de fronteira pode ser colocada com a função
g(x,y)=\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}-S,
que é C^{\infty}. O gradiente de g é
\nabla g(x,y)=\left(\frac{x}{2},\,\frac{2y}{9}\right).
Esse gradiente só é nulo no ponto (x,y)=(0,0). Esse ponto pertence à fronteira g=0 somente se S=0. Assim, exceto no caso degenerado S=0, a condição \nabla g\neq 0 vale em toda a fronteira, e o teorema dos multiplicadores (o que eu suponho ser o Teorema 3.6.1) é aplicável para encontrar candidatos a extremos na fronteira. Conclusão: o Teorema 3.6.1 pode ser aplicado na maioria dos casos relevantes (em particular sempre que S>0); se S=0 a fronteira é o único ponto (0,0) e não há curva diferenciável para aplicar a versão clássica — mas esse caso é trivial de tratar diretamente.

Passo 5

Agora resolvo explicitamente os dois cenários (usando a observação do Passo 3 para simplificar os cálculos na fronteira).
Caso A: S\ge \tfrac{1}{4}.
Já vimos que (1,0) é ponto crítico e está em \Omega. Como f(x,y)\le 0 em todo o plano e f(1,0)=0, esse ponto é o máximo global e, portanto, o máximo restrito em \Omega. Não é preciso Lagrange aqui: resposta imediata.
Caso B: 0\le S<\tfrac{1}{4}.
Então (1,0)\notin\Omega e o máximo em \Omega está na fronteira elíptica g(x,y)=0. Em vez de resolver um sistema complicado, uso um argumento mais direto e sólido: para qualquer ponto da fronteira,
f(x,y)=1-(x-1)^{2}-e^{y^{2}}\le 1-(x-1)^{2}-1=-(x-1)^{2},
com igualdade só se y=0. Ou seja, entre os pontos da fronteira com a mesma abscissa x, aquele com y=0 (caso exista) tem maior valor de f. Na fronteira, se y=0 então a equação da elipse dá
\frac{x^{2}}{4}=S \quad\Rightarrow\quad x=\pm 2\sqrt{S}.
Como queremos minimizar (x-1)^{2} (porque f=-(x-1)^{2} quando y=0), o melhor entre x=2\sqrt{S} e x=-2\sqrt{S} é o que estiver mais próximo de 1; claro que 2\sqrt{S}>-2\sqrt{S}, e para S\ge 0 o ponto (2\sqrt{S},0) é o candidato melhor (mais perto de 1). Portanto o máximo na fronteira é atingido em
(x,y)=\bigl(2\sqrt{S},\,0\bigr),
e o valor máximo é
f\bigl(2\sqrt{S},0\bigr)=1-\bigl(2\sqrt{S}-1\bigr)^{2}-1= -\bigl(2\sqrt{S}-1\bigr)^{2}.
Observação: essa conclusão é compatível com o método de Lagrange: se aplicássemos \nabla f=\lambda\nabla g e resolvêssemos, a equação para a componente y mostraria que ou y=0 ou \lambda=-9e^{y^{2}}; as soluções com y\neq 0 levam a expressões complicadas, mas o argumento monotonicidade em y (porque e^{y^{2}} cresce com |y|) garante que qualquer solução com y\neq 0 não supera a opção y=0 construída acima. Assim a solução dada é a correta.
Caso degenerado: S=0.
Então a região viável é apenas o ponto (0,0). O valor é
f(0,0)=1-(0-1)^{2}-e^{0}=1-1-1=-1.
É um caso trivial e tratado diretamente.

Passo 6

Resumo interpretativo (motivação para a prova): a razão pela qual não usamos multiplicadores quando S\ge 1/4 é que o máximo já aparece como um crítico interior (gradiente nulo) e é global pela observação simples f\le 0. Quando S<1/4 o máximo não pode ser o crítico interior pois ele não pertence à região, então o máximo está necessariamente na fronteira e aí multiplicadores (ou argumentos de monotonicidade) são a ferramenta certa — e as hipóteses para usar multiplicadores estão satisfeitas porque f,g são C^{1} e \nabla g\neq 0 na fronteira (para S>0). O Teorema de existência (Weierstrass) garante que há um máximo porque a região é compacta; o teorema de Lagrange dá as condições necessárias na fronteira.

Resposta

Seja S=c_{1}+c_{2}+c_{3}+5.
Se S\ge \tfrac{1}{4}: o máximo é f_{\max}=0 e é atingido unicamente em (x,y)=(1,0).
Se 0<S<\tfrac{1}{4}: o máximo é atingido na fronteira em (x,y)=\bigl(2\sqrt{S},0\bigr) e vale
f_{\max}=-\bigl(2\sqrt{S}-1\bigr)^{2}.
Se S=0: região viável é \{(0,0)\} e f_{\max}=f(0,0)=-1.
Aplicabilidade dos teoremas:
  • Teorema 3.1.3 (existência em conjuntos compactos): pode ser aplicado, pois f é contínua e \Omega é compacto para S finito.
  • Teorema 3.6.1 (condições de Lagrange): pode ser aplicado para buscar extremos na fronteira sempre que \nabla g\neq 0 na fronteira; aqui \nabla g(x,y)=(x/2,2y/9) e é nulo apenas em (0,0), que pertence à fronteira só se S=0. Portanto, para S>0 a hipótese de regularidade é satisfeita e o teorema dos multiplicadores é aplicável.

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