Questão 11: Resolva o problema max
s.a
usando o método de multiplicadores e justifique o emprego do mesmo. Determine se os Teoremas 3.1 .3 e 3.6 .1 podem ser usados.
Passo 1
O enunciado pede: maximizar a função objetivo
sujeito à restrição
Vou chamar a constante do lado direito de
para simplificar a escrita. Assim a região viável é
As perguntas implícitas são:
- encontrar o(s) ponto(s) em
que maximizam e o valor máximo; - usar o método dos multiplicadores de Lagrange e justificar seu emprego;
- dizer se os Teoremas 3.1.3 e 3.6.1 podem ser aplicados (vou explicar quais hipóteses são necessárias e verificar que elas ocorrem aqui).
Não se resolve nada ainda; apenas organizei o que o problema dá e o que pede.
Passo 2
Primeiro passo técnico: ver as propriedades das funções envolvidas e procurar pontos críticos interiores (sem considerar a restrição ativa).
Explicando o que é um ponto crítico: para uma função
diferenciável, um ponto interior da região viável onde o gradiente
é zero é um candidato a extremo interior. O gradiente é o vetor das derivadas parciais; anular o gradiente significa que não há variação primeira da função nas direções coordenadas.
Calculemos
. Para
temos as derivadas parciais:
Logo
Anulando o gradiente:
pois
para todo
. Assim o único ponto crítico da função no plano é
. O valor de
nesse ponto é
Passo 3
Agora preciso ver se
é viável, isto é, pertence a
. Calculo o lado esquerdo da restrição em
:
Portanto
se, e somente se,
.
Mas antes de separar casos, faço uma observação muito útil sobre a função
em todo
: para qualquer
,
portanto
Logo
para todo
, e a desigualdade fica igualidade apenas quando
e
, isto é, somente em
. Conclusão importante: no plano inteiro o máximo global de
é
e é atingido unicamente em
.
Isto significa que:
- se
(ou seja ), então é o máximo global e, portanto, também o máximo restrito em ; não é necessário apelar ao método dos multiplicadores porque o ponto crítico interior já dá a solução. - se
(ou seja ), então o máximo sobre não pode ser e, como é fechado e limitado (para finito), o máximo existe e será alcançado na fronteira , isto é na elipse
No caso
teremos que procurar o máximo na fronteira: aí o método dos multiplicadores é a ferramenta natural (condições necessárias para extremos sujeitos a restrição de igualdade).
Passo 4
Justificando o uso dos teoremas (comentário didático sobre hipóteses).
-
Sobre existência de máximo (Teorema 3.1.3). Normalmente o teorema que garante existência de máximos e mínimos diz: se
é contínua e a região viável é compacta (fechada e limitada), então atinge máximo e mínimo em . Aqui é contínua (é ) e, para finito, a elipse fechada é fechada e limitada, logo compacta. Portanto as hipóteses desse teorema estão satisfeitas e podemos afirmar que um máximo existe. Conclusão: o (suposto) Teorema 3.1.3 pode ser aplicado desde que se trate desse teorema de existência em conjuntos compactos — e aqui sim, ele se aplica. -
Sobre os multiplicadores de Lagrange (Teorema 3.6.1). Normalmente o teorema de multiplicadores afirma que, se
e são , e um ponto é um extremo de sobre a curva e se (condição de regularidade / qualificadora), então existe tal que . Aqui a restrição de fronteira pode ser colocada com a função
que é
. O gradiente de
é
Esse gradiente só é nulo no ponto
. Esse ponto pertence à fronteira
somente se
. Assim, exceto no caso degenerado
, a condição
vale em toda a fronteira, e o teorema dos multiplicadores (o que eu suponho ser o Teorema 3.6.1) é aplicável para encontrar candidatos a extremos na fronteira. Conclusão: o Teorema 3.6.1 pode ser aplicado na maioria dos casos relevantes (em particular sempre que
); se
a fronteira é o único ponto
e não há curva diferenciável para aplicar a versão clássica — mas esse caso é trivial de tratar diretamente.
Passo 5
Agora resolvo explicitamente os dois cenários (usando a observação do Passo 3 para simplificar os cálculos na fronteira).
Caso A:
.
Já vimos que
é ponto crítico e está em
. Como
em todo o plano e
, esse ponto é o máximo global e, portanto, o máximo restrito em
. Não é preciso Lagrange aqui: resposta imediata.
Caso B:
.
Então
e o máximo em
está na fronteira elíptica
. Em vez de resolver um sistema complicado, uso um argumento mais direto e sólido: para qualquer ponto da fronteira,
com igualdade só se
. Ou seja, entre os pontos da fronteira com a mesma abscissa
, aquele com
(caso exista) tem maior valor de
. Na fronteira, se
então a equação da elipse dá
Como queremos minimizar
(porque
quando
), o melhor entre
e
é o que estiver mais próximo de
; claro que
, e para
o ponto
é o candidato melhor (mais perto de
). Portanto o máximo na fronteira é atingido em
e o valor máximo é
Observação: essa conclusão é compatível com o método de Lagrange: se aplicássemos
e resolvêssemos, a equação para a componente
mostraria que ou
ou
; as soluções com
levam a expressões complicadas, mas o argumento monotonicidade em
(porque
cresce com
) garante que qualquer solução com
não supera a opção
construída acima. Assim a solução dada é a correta.
Caso degenerado:
.
Então a região viável é apenas o ponto . O valor é
Então a região viável é apenas o ponto
É um caso trivial e tratado diretamente.
Passo 6
Resumo interpretativo (motivação para a prova): a razão pela qual não usamos multiplicadores quando
é que o máximo já aparece como um crítico interior (gradiente nulo) e é global pela observação simples
. Quando
o máximo não pode ser o crítico interior pois ele não pertence à região, então o máximo está necessariamente na fronteira e aí multiplicadores (ou argumentos de monotonicidade) são a ferramenta certa — e as hipóteses para usar multiplicadores estão satisfeitas porque
são
e
na fronteira (para
). O Teorema de existência (Weierstrass) garante que há um máximo porque a região é compacta; o teorema de Lagrange dá as condições necessárias na fronteira.
Resposta
Seja
.
Se
: o máximo é
e é atingido unicamente em
.
Se
: o máximo é atingido na fronteira em
e vale
Se
: região viável é
e
.
Aplicabilidade dos teoremas:
- Teorema 3.1.3 (existência em conjuntos compactos): pode ser aplicado, pois
é contínua e é compacto para finito. - Teorema 3.6.1 (condições de Lagrange): pode ser aplicado para buscar extremos na fronteira sempre que
na fronteira; aqui e é nulo apenas em , que pertence à fronteira só se . Portanto, para a hipótese de regularidade é satisfeita e o teorema dos multiplicadores é aplicável.