Questão 10. Resolva os PVIs abaixo:
y^prime prime+y^prime-2 y & =t^2+3 y(0) & =0, y^prime(0)=0

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o PVI de segunda ordem linear não homogênea
y'' + y' - 2y = t^2 + 3,
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0. Para resolver, vamos achar a solução geral da parte homogênea, em seguida uma solução particular por coeficientes a determinar, e por fim aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada
y'' + y' - 2y = 0
A equação característica é
r^2 + r - 2 = 0,
cuja solução são as raízes
r = 1 e r = -2
Logo, a solução geral homogênea é
yh(t) = C1 e^t + C2 e^-2t

Passo 3

Procurar uma solução particular
Calculamos as derivadas:
Substituindo em resulta
que se expande para
Igualando coeficientes de , e termo constante obtemos o sistema:
Daí e . Assim,

Passo 4

A solução geral da equação completa é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^t + C2 e^-2t - tfrac12,t^2 - tfrac12,t - tfrac94

Passo 5

Derivamos
Usando as condições iniciais:
Isso gera o sistema
cuja solução é .

Passo 6

Substituindo C1 e C2 na solução geral, a solução do PVI fica
y(t) = tfrac53,e^t + tfrac712,e^-2t - tfrac12,t^2 - tfrac12,t - tfrac94

Resposta

y(t) = 53 e^t + 712 e^-2t - 12 t^2 - 12 t - 94

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