Questão 3: Marque a opção que representa a inversão da ordem de integração de integral3^-1 integral0^-x^2+2 x+3 f(x, y) d y d x :
а) integral0^4 integral1-raizy+4^1+raizy+4 f(x, y) d x d y;
b) integral0^3 integral1-raizy+4^1+raizy+4 f(x, y) d x d y;
c) integral0^4 integral1-raizy+2^1+raizy+2 f(x, y) d x d y;
d) integral-1^3 integral0^-y^2+2 x+3 f(x, y) d x d y;
e) integral-1^3 integral1-raizy+4^1+raizy+4 f(x, y) d x d y.

Passo 1

O enunciado dá a integral
integral3^-1integral0^-x^2+2x+3f(x,y),dy,dx
e pede a troca da ordem de integração. O conteúdo aqui é geometria de regiões planas e resolução de inequação quadrática em x. Vamos descrever a região
R = (x,y)mid -1<= x<=3,;0<= y<= -x^2+2x+3
e depois identificaremos os limites de y e, para cada y, os limites de x.

Passo 2

Encontramos o valor máximo de y=-x^2+2x+3 no intervalo [-1,3]. Como é uma parábola com concavidade para baixo, o vértice está em
x = -b2a = -22cdot(-1)=1,
e ali
ymax = -1^2+2cdot1+3 =4
Logo y varia de 0 até 4.

Passo 3

Para inverter a ordem, fixamos um yin[0,4] e resolvemos
0<= y <= -x^2+2x+3 ;Long<=ftrightarrow; x^2-2x-3+y<=0
O discriminante desta quadrática em x é
De<a = (-2)^2 -4cdot1cdot(y-3) =16 -4y,
com raízes
x = 2pmraiz16-4y2 =1pmraiz4-y
Portanto, para cada yin[0,4], x vai de 1-raiz4-y até 1+raiz4-y.

Passo 4

A ordem invertida da integração é
integraly=0^4; integralx=,1-raiz4-y^,1+raiz4-y f(x,y),dx,dy

Passo 5

Comparando com as alternativas dadas, a que mais se aproxima (considerando apenas o formato y:0to4 e x:1pmraizdots) é a letra (a), embora ali apareça raizy+4 em vez de raiz4-y.

Resposta

(a) integral0^4integral1-raizy+4^1+raizy+4f(x,y),dx,dy

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