Questão 4: Seja C a curva parametrizada por . Considere as afirmações abaixo:
I. A curva C está contida no cilindro x^2+y^2=9;
II. r é uma parametrização por comprimento de arco para C ;
III. O ponto ( -3,0,6 pi ) pertence à curva C.
Marque a alternativa correta:
a) Apenas as afirmaçõoes I e II estão corretas;
b) Apenas as afirmações I e III estão corretas;
c) Apenas as afirmações II e III estão corretas;;
d) Todas as afirmações estão corretas;
e) Apenas a afirmação I está corretas.
e pede para verificar:
I. se C fica no cilindro x^2+y^2=9;
II. se s é parâmetro de comprimento de arco;
III. se o ponto (-3,0,6pi) está em C.
Para isso vamos usar: (1) cálculo de x^2+y^2; (2) derivada r,'(s) e seu módulo; (3) resolver r(s)=(-3,0,6pi).
Como a velocidade é 1 para todo s, s é de fato parâmetro de comprimento de arco. Logo II está correta.
Passo 4
Para III queremos 3cosl(tfracs5r)=-3, 3sinl(tfracs5r)=0, tfrac4s5=6pi.
Da primeira condição cos(s/5)=-1 vem s=5pi+10pi n. No intervalo dado só cabe s=5pi, mas aí tfrac4s5=4pineq6pi.
Se exigirmos tfrac4s5=6pi obteríamos s=7,5pi, que não satisfaz cos(s/5)=-1.
Logo não existe sin[5pi,10pi] que gere r(s)=(-3,0,6pi). A afirmação III é falsa.