Questão 4: Seja C a curva parametrizada por r(t)=(3 cos (s5), 3 sin (s5), 4 s5), 5 pi <= s <= 10 pi. Considere as afirmações abaixo:
I. A curva C está contida no cilindro x^2+y^2=9;
II. r é uma parametrização por comprimento de arco para C ;
III. O ponto ( -3,0,6 pi ) pertence à curva C.
Marque a alternativa correta:
a) Apenas as afirmaçõoes I e II estão corretas;
b) Apenas as afirmações I e III estão corretas;
c) Apenas as afirmações II e III estão corretas;;
d) Todas as afirmações estão corretas;
e) Apenas a afirmação I está corretas.

Passo 1

O enunciado dá a curva C parametrizada por
r(s)=l(3cosl(tfracs5r),,3sinl(tfracs5r),,tfrac4s5r), 5pi<= s<=10pi,
e pede para verificar:
I. se C fica no cilindro x^2+y^2=9;
II. se s é parâmetro de comprimento de arco;
III. se o ponto (-3,0,6pi) está em C.
Para isso vamos usar: (1) cálculo de x^2+y^2; (2) derivada r,'(s) e seu módulo; (3) resolver r(s)=(-3,0,6pi).

Passo 2

Verificamos a afirmação I com
x(s)=3cosl(tfracs5r), y(s)=3sinl(tfracs5r)
Logo
x(s)^2+y(s)^2 =9cos^2l(tfracs5r)+9sin^2l(tfracs5r) =9l(cos^2+sin^2r)=9
I está correta, pois todo ponto de C satisfaz x^2+y^2=9.

Passo 3

Para a afirmação II calculamos a derivada
r,'(s) =l(-tfrac35sinl(tfracs5r),, tfrac35cosl(tfracs5r),, tfrac45r)
O módulo é
l|r,'(s)r| =raizl(tfrac35r)^2l(sin^2+cos^2r)+l(tfrac45r)^2 =raiztfrac925+tfrac1625=1
Como a velocidade é 1 para todo s, s é de fato parâmetro de comprimento de arco. Logo II está correta.

Passo 4

Para III queremos 3cosl(tfracs5r)=-3, 3sinl(tfracs5r)=0, tfrac4s5=6pi.
Da primeira condição cos(s/5)=-1 vem s=5pi+10pi n. No intervalo dado só cabe s=5pi, mas aí tfrac4s5=4pineq6pi.
Se exigirmos tfrac4s5=6pi obteríamos s=7,5pi, que não satisfaz cos(s/5)=-1.
Logo não existe sin[5pi,10pi] que gere r(s)=(-3,0,6pi). A afirmação III é falsa.

Resposta

a) Apenas as afirmações I e II estão corretas.

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