Questão 10. Resolva os PVIs abaixo:
y^prime prime+2 y & =e^t+2 y(0) & =1, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
y'' + 2,y = e^t + 2, y(0)=1, y'(0)=1
O conteúdo principal é solução de EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, usando a soma da solução geral da homogênea e de uma particular.

Passo 2

Encontramos primeiro a solução complementar yh da homogênea
y'' + 2,y = 0
A equação característica é
r^2 + 2 = 0 implies r = pm iraiz2
Logo
yh(t) = C1cosl(raiz2,tr) + C2sinl(raiz2,tr)

Passo 3

Procuramos uma solução particular yp para
y'' + 2,y = e^t + 2
Tentamos
yp(t) = A,e^t + B,
onde A e B são constantes. Então
yp'' + 2,yp = A,e^t + 2l(A,e^t + Br) = 3A,e^t + 2B
Igualando a e^t+2, obtemos
3A = 1 Rightarrow A = tfrac13, 2B = 2 Rightarrow B = 1
Assim
yp(t) = tfrac13,e^t + 1

Passo 4

A solução geral é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1cosl(raiz2,tr) + C2sinl(raiz2,tr) + tfrac13,e^t + 1

Passo 5

Impondo y(0)=1, temos
y(0) = C1cos(0) + C2sin(0) + tfrac13,e^0 + 1 = C1 + tfrac13 + 1 = 1
Longrightarrow C1 + tfrac43 = 1 Longrightarrow C1 = -tfrac13

Passo 6

Calculamos y'(t) e usamos y'(0)=1. Da solução geral,
y'(t) = -C1,raiz2,sinl(raiz2,tr) + C2,raiz2,cosl(raiz2,tr) + tfrac13,e^t
Em t=0:
y'(0) = -C1raiz2cdot0 + C2raiz2cdot1 + tfrac13 = C2raiz2 + tfrac13 = 1
Longrightarrow C2raiz2 = tfrac23 Longrightarrow C2 = tfrac23raiz2 = tfracraiz23

Passo 7

Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos a solução final
y(t) = -tfrac13cosl(raiz2,tr) + tfracraiz23sinl(raiz2,tr) + tfrac13e^t + 1

Resposta

boxedy(t) = -tfrac13cosl(raiz2,tr) + tfracraiz23sinl(raiz2,tr) + tfrac13e^t + 1

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