Questão 2. (10) Resolva usando a transformada de LAPLACE:
y^{\prime \prime}+y=4 \delta(t-2 \pi), \quad y(0)=0, y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO com impulso
y''(t)+y(t)=4\,\delta(t-2\pi),
sujeita a
\;y(0)=0 e y'(0)=1.
O conteúdo aqui é resolver EDO por transformada de Laplace. Vamos usar:
  1. \mathcal{L}\{y''\}(s)=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
  2. \mathcal{L}\{\delta(t-a)\}(s)=e^{-a s}.
  3. a propriedade de deslocamento:
    \mathcal{L}^{-1}\{e^{-a s}F(s)\}=u(t-a)\,f(t-a).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada termo:
\mathcal{L}\{y''\}(s)+\mathcal{L}\{y\}(s) =4\,\mathcal{L}\{\delta(t-2\pi)\}(s).
Substituindo as fórmulas conhecidas:
\bigl(s^2Y(s)-s\cdot 0 - 1\bigr)+Y(s) =4\,e^{-2\pi s}.
Assim obtemos
(s^2+1)\,Y(s)-1 =4\,e^{-2\pi s}.

Passo 3

Isolando Y(s):
(s^2+1)\,Y(s) =1+4\,e^{-2\pi s},
logo
Y(s) =\frac{1}{s^2+1}+\frac{4\,e^{-2\pi s}}{s^2+1}.

Passo 4

Fazendo a transformada inversa termo a termo:
  1. \mathcal{L}^{-1}\{1/(s^2+1)\}=\sin t.
  2. \mathcal{L}^{-1}\{e^{-2\pi s}/(s^2+1)\}=u(t-2\pi)\,\sin\bigl(t-2\pi\bigr).
    Multiplicando o segundo termo por 4, obtemos
y(t)=\sin t +4\,u(t-2\pi)\,\sin\bigl(t-2\pi\bigr).

Resposta

y(t)=\sin t +4\,u(t-2\pi)\,\sin\bigl(t-2\pi\bigr).

Exercícios relacionados