Encontre o vetor gradiente f \Delta em ( 2, 3 ). Use-o para encontrar uma equação da reta tangente à curva de nível que passa por ( 2, 3 ) onde 6=f(x,y), Se f(x,y) = xy.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=xy e a curva de nível f(x,y)=6. Queremos calcular o vetor gradiente de f em (2,3) e, em seguida, usar esse gradiente para obter a equação da reta tangente à curva de nível que passa por (2,3).

Passo 2

O vetor gradiente de f é definido por
\nabla f(x,y)=\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr).
Como \frac{\partial f}{\partial x}=y e \frac{\partial f}{\partial y}=x, temos
\nabla f(x,y)=(y,\,x).
Logo, em (2,3)
\nabla f(2,3)=(3,2).

Passo 3

Num ponto de curva de nível, o gradiente é normal à curva. Sejam \mathbf v=(v_1,v_2) as direções tangentes; então
\nabla f(2,3)\cdot\mathbf v=0 \quad\Longrightarrow\quad (3,2)\cdot(v_1,v_2)=3v_1+2v_2=0.
Uma escolha simples que satisfaz essa relação é \mathbf v=(2,-3).

Passo 4

Com vetor diretor (2,-3) e passando por (2,3), a forma paramétrica da reta tangente é
x=2+2t,\quad y=3-3t.
Para escrever em forma cartesiana, isolamos t em x:
t=\frac{x-2}{2} \quad\Longrightarrow\quad y-3=-3\frac{x-2}{2} \quad\Longrightarrow\quad y-3=-\tfrac32(x-2).

Resposta

\nabla f(2,3)=(3,2)
A reta tangente à curva de nível xy=6 em (2,3) é
y-3=-\tfrac32(x-2).

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