Questão 10:
Resolva usando variação dos parâmetros.
(d) y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=\frac{1}{1+e^{-x}}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea (resolver usando variação dos parâmetros):
y''-3y'+2y=\frac{1}{1+e^{-x}}.
Informações dadas:
  • É uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo não homogêneo (lado direito) é g(x)=\dfrac{1}{1+e^{-x}}.
  • Deve-se encontrar a solução geral y(x), isto é, a soma da solução geral da homogênia e de uma particular obtida por variação dos parâmetros.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
y''-3y'+2y=0.
Procuramos soluções da forma y=e^{rx}. O polinômio característico é
r^{2}-3r+2=0.
Resolvendo:
r=\frac{3\pm\sqrt{9-8}}{2}=\frac{3\pm1}{2}\implies r_{1}=1,\quad r_{2}=2.
Logo a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora aplicamos variação dos parâmetros. Tomamos as duas soluções fundamentais da homogênea:
y_{1}(x)=e^{x},\qquad y_{2}(x)=e^{2x}.
A técnica busca uma solução particular na forma
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
com as condições auxiliares (para simplificar):
u_{1}'(x)y_{1}(x)+u_{2}'(x)y_{2}(x)=0,
u_{1}'(x)y_{1}'(x)+u_{2}'(x)y_{2}'(x)=g(x),
onde g(x) é o lado direito dividido pelo coeficiente de y'' (aqui o coeficiente é 1), logo
g(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}.

Passo 4

Calculamos o Wronskiano W de y_{1},y_{2}:
W(x)=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}=e^{x}\cdot(2e^{2x})-(e^{x})\cdot e^{2x}=e^{3x}.
As fórmulas diretas para u_{1}' e u_{2}' são
u_{1}'(x)=-\frac{g(x)\,y_{2}(x)}{W(x)},\qquad u_{2}'(x)=\frac{g(x)\,y_{1}(x)}{W(x)}.
Substituindo y_{1},y_{2},W,g:
u_{1}'(x)=-\frac{\dfrac{1}{1+e^{-x}}\cdot e^{2x}}{e^{3x}} =-\frac{e^{2x}}{e^{3x}(1+e^{-x})} =-\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}.
Simplificando multiplicando numerador e denominador por e^{x}:
u_{1}'(x)=-\frac{1}{1+e^{x}}.
E
u_{2}'(x)=\frac{\dfrac{1}{1+e^{-x}}\cdot e^{x}}{e^{3x}} =\frac{e^{-2x}}{1+e^{-x}}.
Também podemos reescrever u_{2}' simplificando (multiplicando numerador e denominador por e^{x}):
u_{2}'(x)=\frac{e^{-x}}{1+e^{x}}.

Passo 5

Integramos u_{1}'(x). Temos
u_{1}'(x)=-\frac{1}{1+e^{x}}.
Calcule a primitiva. Uma primitiva de \dfrac{1}{1+e^{x}} é x-\ln(1+e^{x}) (verificação rápida diferenciando), então
u_{1}(x)=-\int\frac{1}{1+e^{x}}\,dx=-\bigl(x-\ln(1+e^{x})\bigr)=\ln(1+e^{x})-x.
Escolhemos a constante de integração zero porque qualquer constante se absorve em C_{1},C_{2} na solução geral.

Passo 6

Integramos u_{2}'(x). Lembrando
u_{2}'(x)=\frac{e^{-x}}{1+e^{x}}.
Fazemos a substituição v=e^{-x}. Então dv=-e^{-x}dx, logo e^{-x}dx=-dv. Também 1+e^{x}=(1+1/v)/v^{-1} mas é mais direto proceder assim:
\int \frac{e^{-x}}{1+e^{x}}\,dx = -\int \frac{v}{1+1/v}\cdot\frac{dv}{v} \text{ (seguindo a mudança) }ç
Uma forma mais limpa é transformar a integral explicitamente: com v=e^{-x} obtemos
\int \frac{e^{-x}}{1+e^{x}}\,dx = -\int \frac{v}{v+1}\,dv.
Decompondo \dfrac{v}{v+1}=1-\dfrac{1}{v+1} temos
-\int\frac{v}{v+1}\,dv = -\int\left(1-\frac{1}{v+1}\right)dv = -\bigl(v-\ln|v+1|\bigr)+C.
Voltando a x (com v=e^{-x}) e escolhendo a constante zero,
u_{2}(x)=-e^{-x}+\ln(1+e^{-x}).
(Verificação: ao derivar obtém-se u_{2}'(x)=e^{-x}/(1+e^{x}), conforme necessário.)

Passo 7

Agora construímos a solução particular:
y_{p}(x)=u_{1}(x)e^{x}+u_{2}(x)e^{2x}.
Substituindo u_{1},u_{2}:
y_{p}(x)=\bigl(\ln(1+e^{x})-x\bigr)e^{x}+\bigl(-e^{-x}+\ln(1+e^{-x})\bigr)e^{2x}.
Simplificamos termo a termo:
\begin{aligned} y_{p}(x)&=e^{x}\ln(1+e^{x})-x e^{x}-e^{x}+e^{2x}\ln(1+e^{-x})\\\ &=(e^{x}+e^{2x})\ln(1+e^{x})-x(e^{x}+e^{2x})-e^{x}, \end{aligned}
onde na última linha foi usada a identidade \ln(1+e^{-x})=\ln(1+e^{x})-x para combinar os logaritmos.

Passo 8

A solução geral da equação dada é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}+y_{p}(x).
Substituindo a forma simplificada de y_{p}:
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}+(e^{x}+e^{2x})\ln(1+e^{x})-x(e^{x}+e^{2x})-e^{x}.
Pode-se reorganizar os termos se desejar, mas esta expressão já apresenta a solução geral.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}+(e^{x}+e^{2x})\ln(1+e^{x})-x(e^{x}+e^{2x})-e^{x}

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