Questão 10:
Resolva usando variação dos parâmetros.
(d)
Resolva usando variação dos parâmetros.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea (resolver usando variação dos parâmetros):
Informações dadas:
- É uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo não homogêneo (lado direito) é
. - Deve-se encontrar a solução geral
, isto é, a soma da solução geral da homogênia e de uma particular obtida por variação dos parâmetros.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
Procuramos soluções da forma
. O polinômio característico é
Resolvendo:
Logo a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora aplicamos variação dos parâmetros. Tomamos as duas soluções fundamentais da homogênea:
A técnica busca uma solução particular na forma
com as condições auxiliares (para simplificar):
onde
é o lado direito dividido pelo coeficiente de
(aqui o coeficiente é
), logo
Passo 4
Calculamos o Wronskiano
de
:
As fórmulas diretas para
e
são
Substituindo
:
Simplificando multiplicando numerador e denominador por
:
E
Também podemos reescrever
simplificando (multiplicando numerador e denominador por
):
Passo 5
Integramos
. Temos
Calcule a primitiva. Uma primitiva de
é
(verificação rápida diferenciando), então
Escolhemos a constante de integração zero porque qualquer constante se absorve em
na solução geral.
Passo 6
Integramos
. Lembrando
Fazemos a substituição
. Então
, logo
. Também
mas é mais direto proceder assim:
Uma forma mais limpa é transformar a integral explicitamente: com
obtemos
Decompondo
temos
Voltando a
(com
) e escolhendo a constante zero,
(Verificação: ao derivar obtém-se
, conforme necessário.)
Passo 7
Agora construímos a solução particular:
Substituindo
:
Simplificamos termo a termo:
onde na última linha foi usada a identidade
para combinar os logaritmos.
Passo 8
A solução geral da equação dada é a soma da homogênea com a particular:
Substituindo a forma simplificada de
:
Pode-se reorganizar os termos se desejar, mas esta expressão já apresenta a solução geral.