f'(x) e g'(x) são as derivadas dessas funções em relação a x;
O determinante 2\times2 dá a combinação f g' - f' g.]
Passo 3
Agora identificamos as funções do problema:
f(x)=x,\qquad g(x)=x\sin x.
Vamos calcular as derivadas passo a passo.
Para f(x)=x:
f'(x)=1,
porque a derivada de x em relação a x é 1.
Para g(x)=x\sin x usamos a regra do produto: se u(x)=x e v(x)=\sin x, então
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui u'(x)=1 e v'(x)=\cos x. Aplicando:
g'(x)=(x\sin x)' = 1\cdot \sin x + x\cdot \cos x = \sin x + x\cos x.
Passo 4
Construímos o wronskiano usando a fórmula W=f g' - f' g:
W(f,g)(x)=x\bigl(\sin x + x\cos x\bigr)-1\cdot\bigl(x\sin x\bigr).
Agora simplificamos passo a passo:
x\bigl(\sin x + x\cos x\bigr)=x\sin x + x^2\cos x.
Subtraindo x\sin x:
x\sin x + x^2\cos x - x\sin x = x^2\cos x.
Passo 5
Portanto o wronskiano simplificado é
W(f,g)(x)=x^2\cos x.
Comentário útil (rápido): isso mostra que o wronskiano não é identicamente zero; ele zera quando x=0 ou quando \cos x=0 (ou seja, em pontos isolados). Em intervalos onde x^2\cos x não se anula identicamente, as funções são linearmente independentes.