Questão 11:
Calcule o wrosnkiano das seguinte funções:
(b) x, \quad x \sin x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o wronskiano das duas funções dadas no item (b). As informações do problema são:
  • Função f(x)=x.
  • Função g(x)=x\sin x.
    A tarefa é encontrar o wronskiano W(f,g)(x) — ou seja, uma expressão em termos de x.

Passo 2

Definição do wronskiano para duas funções: se f e g são duas funções diferenciáveis, o wronskiano W(f,g)(x) é dado por
W(f,g)(x)= \begin{vmatrix} f(x) & g(x)\\[4pt] f'(x) & g'(x) \end{vmatrix} = f(x)\,g'(x)-f'(x)\,g(x).
Explicando cada símbolo:
  • f(x) e g(x) são as funções dadas;
  • f'(x) e g'(x) são as derivadas dessas funções em relação a x;
  • O determinante 2\times2 dá a combinação f g' - f' g.]

Passo 3

Agora identificamos as funções do problema:
f(x)=x,\qquad g(x)=x\sin x.
Vamos calcular as derivadas passo a passo.
Para f(x)=x:
f'(x)=1,
porque a derivada de x em relação a x é 1.
Para g(x)=x\sin x usamos a regra do produto: se u(x)=x e v(x)=\sin x, então
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui u'(x)=1 e v'(x)=\cos x. Aplicando:
g'(x)=(x\sin x)' = 1\cdot \sin x + x\cdot \cos x = \sin x + x\cos x.

Passo 4

Construímos o wronskiano usando a fórmula W=f g' - f' g:
W(f,g)(x)=x\bigl(\sin x + x\cos x\bigr)-1\cdot\bigl(x\sin x\bigr).
Agora simplificamos passo a passo:
x\bigl(\sin x + x\cos x\bigr)=x\sin x + x^2\cos x.
Subtraindo x\sin x:
x\sin x + x^2\cos x - x\sin x = x^2\cos x.

Passo 5

Portanto o wronskiano simplificado é
W(f,g)(x)=x^2\cos x.
Comentário útil (rápido): isso mostra que o wronskiano não é identicamente zero; ele zera quando x=0 ou quando \cos x=0 (ou seja, em pontos isolados). Em intervalos onde x^2\cos x não se anula identicamente, as funções são linearmente independentes.

Resposta

x^{2}\cos x

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