Questão 9:
Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados.
(e)
Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Dados fornecidos:
- Equação diferencial:
- Condições iniciais:
O pedido explícito é: encontrar a solução
que satisfaz a equação e as duas condições iniciais. Nada mais será assumido além do que está escrito.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada (a parte complementar). A homogênea é
Formamos a equação característica:
As raízes são
Portanto a solução complementar (solução da homogênea) é
onde
e
são constantes arbitrárias. Explicação rápida: a equação característica vem de tentar
; se
é raiz, então
é solução.
Passo 3
Agora vamos aplicar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular
de
Regra prática do método: quando o termo do lado direito é do tipo
vezes senos ou cossenos, tenta-se uma solução particular da forma
onde
são constantes a determinar e
seria a raiz complexa associada ao forçante. Aqui o forçante é
, que corresponde a
e
. Verificamos também que
NÃO é raiz da característica (
), logo não há fator extra de
. Assim escolhemos o ansatz
com
desconhecidos. Justificativa intuitiva: multiplicar por
ajusta o decaimento/crescimento exponencial e os coeficientes com cos/sen capturam a oscilação.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
. Primeiro escrevemos
Derivando uma vez (usar regra do produto e derivadas de seno/cosseno):
Agrupando termos em
e
:
Passo 5
Derivamos novamente para obter
. Denotando
e
para organizar, temos
Derivando:
Agrupando:
Agora substituímos
e
:
Logo
Passo 6
Substituímos
Fatorando
e agrupando:
Esse resultado deve ser igual ao lado direito
, ou seja
Cancelando
e comparando coeficientes de
e
obtemos o sistema linear:
Resolvendo o segundo por
Substituindo no primeiro:
Então
Passo 7
Com
e
encontrados, a solução particular é
A solução geral da equação completa é a soma complementar + particular:
Passo 8
Aplicamos as condições iniciais para determinar
e
.
Primeiro
. Avaliando
:
Igualando a
:
Agora
. Precisamos de
. Derivando a solução geral:
Já temos expressão geral de
do Passo 4 e com os valores de
:
Calculamos
e
:
Assim
Logo
Igualando a
:
Dividindo por
:
Passo 9
Resolvemos o sistema para
Somando as equações:
Substituindo em (C_{1}+C_{2}=\tfrac{24}{20}]:
Portanto a solução com constantes determinadas é