Questão 9:
Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados.
(e) y^{\prime \prime}-4 y=e^{x} \cos x, y(0)=1, y^{\prime}(0)=2

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Dados fornecidos:
  • Equação diferencial: y''-4y=e^{x}\cos x.
  • Condições iniciais: y(0)=1,\qquad y'(0)=2.
O pedido explícito é: encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação e as duas condições iniciais. Nada mais será assumido além do que está escrito.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada (a parte complementar). A homogênea é
y''-4y=0.
Formamos a equação característica:
r^{2}-4=0.
As raízes são
r=\pm2.
Portanto a solução complementar (solução da homogênea) é
y_{c}(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Explicação rápida: a equação característica vem de tentar y=e^{rx}; se r é raiz, então e^{rx} é solução.

Passo 3

Agora vamos aplicar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular y_{p} de
y''-4y=e^{x}\cos x.
Regra prática do método: quando o termo do lado direito é do tipo e^{\alpha x} vezes senos ou cossenos, tenta-se uma solução particular da forma
y_{p}(x)=e^{\alpha x}\big(A\cos(\beta x)+B\sin(\beta x)\big),
onde A,B são constantes a determinar e \alpha+i\beta seria a raiz complexa associada ao forçante. Aqui o forçante é e^{x}\cos x, que corresponde a \alpha=1 e \beta=1. Verificamos também que r=1\pm i NÃO é raiz da característica ( \pm2), logo não há fator extra de x. Assim escolhemos o ansatz
y_{p}(x)=e^{x}\big(A\cos x+B\sin x\big),
com A,B desconhecidos. Justificativa intuitiva: multiplicar por e^{x} ajusta o decaimento/crescimento exponencial e os coeficientes com cos/sen capturam a oscilação.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_{p}. Primeiro escrevemos
y_{p}(x)=e^{x}\big(A\cos x+B\sin x\big).
Derivando uma vez (usar regra do produto e derivadas de seno/cosseno):
y_{p}'(x)=e^{x}\big(A\cos x+B\sin x\big)+e^{x}\big(-A\sin x+B\cos x\big).
Agrupando termos em \cos x e \sin x:
y_{p}'(x)=e^{x}\big((A+B)\cos x+(B-A)\sin x\big).

Passo 5

Derivamos novamente para obter y_{p}''. Denotando C=A+B e D=B-A para organizar, temos
y_{p}'(x)=e^{x}\big(C\cos x+D\sin x\big).
Derivando:
y_{p}''(x)=e^{x}\big(C\cos x+D\sin x\big)+e^{x}\big(-C\sin x+D\cos x\big).
Agrupando:
y_{p}''(x)=e^{x}\big((C+D)\cos x+(D-C)\sin x\big).
Agora substituímos C=A+B e D=B-A:
C+D=(A+B)+(B-A)=2B,
D-C=(B-A)-(A+B)=-2A.
Logo
y_{p}''(x)=e^{x}\big(2B\cos x-2A\sin x\big).

Passo 6

Substituímos y_{p}\) e \(y_{p}''\) na equação esquerda \(y''-4y\) para determinar \(A\) e \(B\): \[y_{p}''-4y_{p}=e^{x}\big(2B\cos x-2A\sin x\big)-4e^{x}\big(A\cos x+B\sin x\big).
Fatorando e^{x} e agrupando:
y_{p}''-4y_{p}=e^{x}\big((2B-4A)\cos x+(-2A-4B)\sin x\big).
Esse resultado deve ser igual ao lado direito e^{x}\cos x, ou seja
e^{x}\big((2B-4A)\cos x+(-2A-4B)\sin x\big)=e^{x}\cos x.
Cancelando e^{x} e comparando coeficientes de \cos x e \sin x obtemos o sistema linear:
\begin{cases} 2B-4A=1,\\[4pt] -2A-4B=0. \end{cases}
Resolvendo o segundo por A\]: \(-2A-4B=0\Rightarrow A+2B=0\Rightarrow A=-2B.
Substituindo no primeiro:
2B-4(-2B)=2B+8B=10B=1\Rightarrow B=\tfrac{1}{10}.
Então
A=-2B=-\tfrac{2}{10}=-\tfrac{1}{5}.]

Passo 7

Com A e B encontrados, a solução particular é
y_{p}(x)=e^{x}\Big(-\tfrac{1}{5}\cos x+\tfrac{1}{10}\sin x\Big).
A solução geral da equação completa é a soma complementar + particular:
y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-2x}+e^{x}\Big(-\tfrac{1}{5}\cos x+\tfrac{1}{10}\sin x\Big).

Passo 8

Aplicamos as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.
Primeiro y(0)=1. Avaliando y(0):
y(0)=C_{1}+C_{2}+e^{0}\Big(-\tfrac{1}{5}\cos0+\tfrac{1}{10}\sin0\Big)=C_{1}+C_{2}-\tfrac{1}{5}.
Igualando a 1:
C_{1}+C_{2}-\tfrac{1}{5}=1\quad\Rightarrow\quad C_{1}+C_{2}=\tfrac{6}{5}.
Agora y'(0)=2. Precisamos de y'(x). Derivando a solução geral:
y'(x)=2C_{1}e^{2x}-2C_{2}e^{-2x}+y_{p}'(x).
Já temos expressão geral de y_{p}' do Passo 4 e com os valores de A,B:
y_{p}'(x)=e^{x}\big((A+B)\cos x+(B-A)\sin x\big).
Calculamos A+B e B-A:
A+B=-\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{10}=-\tfrac{1}{10},\qquad B-A=\tfrac{1}{10}-\big(-\tfrac{1}{5}\big)=\tfrac{3}{10}.
Assim
y_{p}'(x)=e^{x}\Big(-\tfrac{1}{10}\cos x+\tfrac{3}{10}\sin x\Big).
Logo
y'(0)=2C_{1}-2C_{2}+ \big(-\tfrac{1}{10}\big).
Igualando a 2:
2C_{1}-2C_{2}-\tfrac{1}{10}=2\quad\Rightarrow\quad 2C_{1}-2C_{2}=\tfrac{21}{10}.
Dividindo por 2:
C_{1}-C_{2}=\tfrac{21}{20}.

Passo 9

Resolvemos o sistema para C_{1}\) e \(C_{2}\): \[\begin{cases} C_{1}+C_{2}=\tfrac{6}{5}=\tfrac{24}{20},\\[4pt] C_{1}-C_{2}=\tfrac{21}{20}. \end{cases}
Somando as equações:
2C_{1}=\tfrac{45}{20}\Rightarrow C_{1}=\tfrac{45}{40}=\tfrac{9}{8}.
Substituindo em (C_{1}+C_{2}=\tfrac{24}{20}]:
C_{2}=\tfrac{24}{20}-\tfrac{9}{8}=\tfrac{48}{40}-\tfrac{45}{40}=\tfrac{3}{40}.
Portanto a solução com constantes determinadas é
y(x)=\tfrac{9}{8}e^{2x}+\tfrac{3}{40}e^{-2x}+e^{x}\Big(-\tfrac{1}{5}\cos x+\tfrac{1}{10}\sin x\Big).]

Resposta

y(x)=\tfrac{9}{8}e^{2x}+\tfrac{3}{40}e^{-2x}+e^{x}\Big(-\tfrac{1}{5}\cos x+\tfrac{1}{10}\sin x\Big).

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