Usar identidade de soma para o primeiro parêntese:
\cos A\cos B + \sin A\sin B = \cos(A-B),
com A=\tfrac{3x}{2}, B=\tfrac{x}{2}, dá \cos\!x. E para o restante usar \sin^2-\cos^2 = -\cos(2\cdot\tfrac{x}{2}) = -\cos x. Assim:
y_p = \tfrac{1}{6}\cos x + \tfrac{1}{2}(\sin^2\!\tfrac{x}{2}-\cos^2\!\tfrac{x}{2}) = \tfrac{1}{6}\cos x - \tfrac{1}{2}\cos x = \Big(\tfrac{1}{6}-\tfrac{1}{2}\Big)\cos x = -\tfrac{1}{3}\cos x.
Verificação rápida (opcional): calcular 4y_p''+y_p com y_p=-\tfrac{1}{3}\cos x dá \cos x, portanto está correto.
Passo 12
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular: