Questão 10:
Resolva usando variação dos parâmetros.
(a) 4 y^{\prime \prime}+y=\cos x

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial ordinária não-homogênea usando variação dos parâmetros. A equação dada é:
4 y'' + y = \cos x.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O lado direito (termo não-homogêneo) é \cos x.
  • Deve-se usar o método de variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular e, assim, a solução geral.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão (coeficiente de y'' igual a 1) facilita o uso das fórmulas. Dividindo ambos os lados por 4 obtemos:
y'' + \tfrac{1}{4}y = \tfrac{1}{4}\cos x.
Aqui o termo não-homogêneo é r(x)=\tfrac{1}{4}\cos x. Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' + \tfrac{1}{4}y = 0.

Passo 3

Resolver a homogênea por equação característica. Assumindo y=e^{rx} dá:
r^2 + \tfrac{1}{4}=0 \quad\Rightarrow\quad r=\pm \tfrac{i}{2}.
Portanto uma base de soluções fundamentais da homogênea é
y_1(x)=\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right),\qquad y_2(x)=\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right).
A solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right)+C_2\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right).

Passo 4

Agora aplicamos variação dos parâmetros. A ideia: procurar uma solução particular da forma
y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x),
onde u_1,u_2 são funções a determinar. Para tornar o sistema determinável impõe-se a condição auxiliar
u_1'(x)y_1(x)+u_2'(x)y_2(x)=0.
Com isso, as equações para u_1' e u_2' ficam (quando a equação está na forma y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)):
u_1'=-\frac{r(x)y_2}{W},\qquad u_2'=\frac{r(x)y_1}{W},
onde W é o Wronskiano das soluções y_1,y_2:
W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}.
No nosso caso a equação já está na forma com coeficiente de y'' igual a 1 e r(x)=\tfrac{1}{4}\cos x.

Passo 5

Calcular o Wronskiano de y_1 e y_2. Primeiro as derivadas:
y_1'(x) = -\tfrac{1}{2}\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right),\qquad y_2'(x)=\tfrac{1}{2}\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right).
Logo
W = y_1 y_2' - y_1' y_2 = \cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\cdot \tfrac{1}{2}\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right) - \big(-\tfrac{1}{2}\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\big)\cdot\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right).
Simplificando usando \cos^2+\sin^2=1:
W = \tfrac{1}{2}\big(\cos^2\!\tfrac{x}{2}+\sin^2\!\tfrac{x}{2}\big)=\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Aplicar as fórmulas para u_1' e u_2' com r(x)=\tfrac{1}{4}\cos x e W=\tfrac{1}{2}:
u_1' = -\frac{\tfrac{1}{4}\cos x\; y_2}{\tfrac{1}{2}} = -\tfrac{1}{2}\cos x\; \sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right),
u_2' = \frac{\tfrac{1}{4}\cos x\; y_1}{\tfrac{1}{2}} = \tfrac{1}{2}\cos x\; \cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right).

Passo 7

Simplificar os produtos trigonométricos usando identidades produto-soma. Usar
\cos A\sin B=\tfrac{1}{2}\big(\sin(A+B)+\sin(B-A)\big),
\cos A\cos B=\tfrac{1}{2}\big(\cos(A-B)+\cos(A+B)\big).
Com A=x e B=\tfrac{x}{2}:
\cos x\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)=\tfrac{1}{2}\big(\sin\!\tfrac{3x}{2}-\sin\!\tfrac{x}{2}\big),
\cos x\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right)=\tfrac{1}{2}\big(\cos\!\tfrac{x}{2}+\cos\!\tfrac{3x}{2}\big).
Substituindo em u_1' e u_2':
u_1' = -\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{2}\big(\sin\!\tfrac{3x}{2}-\sin\!\tfrac{x}{2}\big) = -\tfrac{1}{4}\sin\!\tfrac{3x}{2} + \tfrac{1}{4}\sin\!\tfrac{x}{2},
u_2' = \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{2}\big(\cos\!\tfrac{x}{2}+\cos\!\tfrac{3x}{2}\big) = \tfrac{1}{4}\cos\!\tfrac{x}{2} + \tfrac{1}{4}\cos\!\tfrac{3x}{2}.

Passo 8

Integrar u_1' para obter u_1. Calcular as integrais termpor a termo:
u_1 = \int u_1'\,dx = -\tfrac{1}{4}\int \sin\!\tfrac{3x}{2}\,dx + \tfrac{1}{4}\int \sin\!\tfrac{x}{2}\,dx.
Usar \int \sin(kx)\,dx = -\tfrac{1}{k}\cos(kx). Assim:
\int \sin\!\tfrac{3x}{2}\,dx = -\tfrac{2}{3}\cos\!\tfrac{3x}{2},\qquad \int \sin\!\tfrac{x}{2}\,dx = -2\cos\!\tfrac{x}{2}.
Portanto (escolhendo constantes de integração zero, pois buscamos uma única solução particular)
u_1 = -\tfrac{1}{4}\cdot\big(-\tfrac{2}{3}\cos\!\tfrac{3x}{2}\big) + \tfrac{1}{4}\cdot\big(-2\cos\!\tfrac{x}{2}\big) = \tfrac{1}{6}\cos\!\tfrac{3x}{2} - \tfrac{1}{2}\cos\!\tfrac{x}{2}.

Passo 9

Integrar u_2' para obter u_2:
u_2 = \int u_2'\,dx = \tfrac{1}{4}\int \cos\!\tfrac{x}{2}\,dx + \tfrac{1}{4}\int \cos\!\tfrac{3x}{2}\,dx.
Usar \int \cos(kx)\,dx = \tfrac{1}{k}\sin(kx). Logo:
\int \cos\!\tfrac{x}{2}\,dx = 2\sin\!\tfrac{x}{2},\qquad \int \cos\!\tfrac{3x}{2}\,dx = \tfrac{2}{3}\sin\!\tfrac{3x}{2}.
Então, tomando constantes de integração zero,
u_2 = \tfrac{1}{4}\cdot 2\sin\!\tfrac{x}{2} + \tfrac{1}{4}\cdot \tfrac{2}{3}\sin\!\tfrac{3x}{2} = \tfrac{1}{2}\sin\!\tfrac{x}{2} + \tfrac{1}{6}\sin\!\tfrac{3x}{2}.

Passo 10

Construir y_p = u_1 y_1 + u_2 y_2. Substituindo y_1,y_2,u_1,u_2:
y_p = \Big(\tfrac{1}{6}\cos\!\tfrac{3x}{2}-\tfrac{1}{2}\cos\!\tfrac{x}{2}\Big)\cos\!\tfrac{x}{2} +\Big(\tfrac{1}{2}\sin\!\tfrac{x}{2}+\tfrac{1}{6}\sin\!\tfrac{3x}{2}\Big)\sin\!\tfrac{x}{2}.

Passo 11

Simplificar y_p. Reordenando os termos:
y_p = \tfrac{1}{6}\big(\cos\!\tfrac{3x}{2}\cos\!\tfrac{x}{2}+\sin\!\tfrac{3x}{2}\sin\!\tfrac{x}{2}\big) - \tfrac{1}{2}\cos^2\!\tfrac{x}{2} + \tfrac{1}{2}\sin^2\!\tfrac{x}{2}.
Usar identidade de soma para o primeiro parêntese:
\cos A\cos B + \sin A\sin B = \cos(A-B),
com A=\tfrac{3x}{2}, B=\tfrac{x}{2}, dá \cos\!x. E para o restante usar \sin^2-\cos^2 = -\cos(2\cdot\tfrac{x}{2}) = -\cos x. Assim:
y_p = \tfrac{1}{6}\cos x + \tfrac{1}{2}(\sin^2\!\tfrac{x}{2}-\cos^2\!\tfrac{x}{2}) = \tfrac{1}{6}\cos x - \tfrac{1}{2}\cos x = \Big(\tfrac{1}{6}-\tfrac{1}{2}\Big)\cos x = -\tfrac{1}{3}\cos x.
Verificação rápida (opcional): calcular 4y_p''+y_p com y_p=-\tfrac{1}{3}\cos x \cos x, portanto está correto.

Passo 12

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_1\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right)+C_2\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)-\tfrac{1}{3}\cos x,
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_1\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right)+C_2\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)-\tfrac{1}{3}\cos x

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