Questão 9:
Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados.
(d) y^{\prime \prime}+y=e^{x}+x^{3}, y(0)=2, y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e as condições iniciais e pede a solução y(x). Dados e pedidos:
  • Equação diferencial: \;y^{\prime\prime}+y=e^{x}+x^{3}.
  • Condições iniciais: \;y(0)=2,\;y^{\prime}(0)=0.
  • Pedido: encontrar a solução y(x) que satisfaça a equação e as condições iniciais.

Passo 2

Começamos encontrando a solução geral da equação homogênea associada. A homogênea é
y^{\prime\prime}+y=0.
Assumimos uma solução da forma y=e^{rx}. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica
r^{2}+1=0.
As raízes são r=\pm i. Para raízes complexas \pm i a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (são os parâmetros que vão ser fixados pelas condições iniciais).

Passo 3

Agora procuramos uma solução particular y_{p} da equação completa. A linha de ideia do método dos coeficientes indeterminados é tentar uma forma para y_{p} baseada nos termos do lado direito e^{x}+x^{3}, com coeficientes desconhecidos e ajustar esses coeficientes impondo a equação diferencial.
Primeiro tratamos o termo e^{x}. Propomos uma solução particular do tipo
y_{p1}(x)=A e^{x},
onde A é constante desconhecida (isso é um coeficiente indeterminado). Calculamos as derivadas:
y_{p1}^{\prime}(x)=A e^{x},\qquad y_{p1}^{\prime\prime}(x)=A e^{x}.
Substituindo em y^{\prime\prime}+y obtemos
y_{p1}^{\prime\prime}+y_{p1}=A e^{x}+A e^{x}=2A e^{x}.
Queremos que isso seja igual ao termo e^{x} do lado direito, então
2A e^{x}=e^{x}\quad\Rightarrow\quad 2A=1\quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{2}.
Portanto uma solução particular para o termo exponencial é
y_{p1}(x)=\tfrac{1}{2}e^{x}.
Observação didática rápida: escolhemos A e^{x} porque e^{x} não é solução da homogênea (homogênea tem \cos x,\sin x), então não há ressonância e não precisamos multiplicar por potências de x.

Passo 4

Agora tratamos o termo polinomial x^{3}. Para um termo polinomial de grau 3 tentamos uma solução particular polinomial da mesma forma:
y_{p2}(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x + d,
onde a,b,c,d são constantes desconhecidas. Calculamos as derivadas:
y_{p2}^{\prime}(x)=3a x^{2}+2b x + c,
y_{p2}^{\prime\prime}(x)=6a x + 2b.
Substituindo na equação y^{\prime\prime}+y obtemos
y_{p2}^{\prime\prime}+y_{p2}=(6a x + 2b) + (a x^{3}+b x^{2}+c x + d).
Reorganizando por potências de x:
y_{p2}^{\prime\prime}+y_{p2}=a x^{3} + b x^{2} + (6a + c)x + (2b + d).
Queremos que isso seja igual ao termo polinomial do lado direito, ou seja x^{3}. Portanto devemos ter igualdade dos coeficientes de cada potência de x:
  • Coeficiente de x^{3}: a = 1.
  • Coeficiente de x^{2}: b = 0.
  • Coeficiente de x^{1}: 6a + c = 0. Substituindo a=1 6 + c = 0\Rightarrow c=-6.
  • Termo constante: 2b + d = 0. Como b=0, obtemos d=0.
Logo os coeficientes são a=1,\; b=0,\; c=-6,\; d=0 e
y_{p2}(x)=x^{3}-6x.
Observação didática: não houve ressonância com a homogênea porque a homogênea não contém polinômios; por isso tentamos polinômio de grau igual ao RHS sem multiplicar por potências de x.

Passo 5

A solução particular total é a soma das particulares dos dois termos do lado direito:
y_{p}(x)=y_{p1}(x)+y_{p2}(x)=\tfrac{1}{2}e^{x}+x^{3}-6x.
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x + \tfrac{1}{2}e^{x} + x^{3}-6x.
Aqui C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias que agora serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 6

Usamos as condições iniciais para achar C_{1} e C_{2}.
Primeiro avaliamos y(0). Note que \cos 0=1,\;\sin 0=0,\;e^{0}=1 e 0^{3}=0. Assim
y(0)=C_{1}\cdot 1 + C_{2}\cdot 0 + \tfrac{1}{2}\cdot 1 + 0 - 0 = C_{1} + \tfrac{1}{2}.
A condição y(0)=2
C_{1} + \tfrac{1}{2}=2\quad\Rightarrow\quad C_{1}=2-\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}.
Agora precisamos de y^{\prime}(x). Derivando a solução geral:
y^{\prime}(x) = -C_{1}\sin x + C_{2}\cos x + \tfrac{1}{2}e^{x} + 3x^{2}-6.
Avaliar em x=0 (novamente \sin 0=0,\;\cos 0=1,\;e^{0}=1 e 3\cdot0^{2}-6=-6) dá
y^{\prime}(0)= -C_{1}\cdot 0 + C_{2}\cdot 1 + \tfrac{1}{2}\cdot 1 -6 = C_{2} + \tfrac{1}{2} -6 = C_{2} - \tfrac{11}{2}.
A condição y^{\prime}(0)=0 implica
C_{2} - \tfrac{11}{2}=0\quad\Rightarrow\quad C_{2}=\tfrac{11}{2}.

Passo 7

Encontramos as constantes:
C_{1}=\tfrac{3}{2},\qquad C_{2}=\tfrac{11}{2}.

Resposta

y(x)=\tfrac{3}{2}\cos x + \tfrac{11}{2}\sin x + \tfrac{1}{2}e^{x} + x^{3} - 6x

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