Questão 9:
Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados.
(d)
Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e as condições iniciais e pede a solução
. Dados e pedidos:
- Equação diferencial:
- Condições iniciais:
- Pedido: encontrar a solução
que satisfaça a equação e as condições iniciais.
Passo 2
Começamos encontrando a solução geral da equação homogênea associada. A homogênea é
Assumimos uma solução da forma
. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica
As raízes são
. Para raízes complexas
a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias (são os parâmetros que vão ser fixados pelas condições iniciais).
Passo 3
Agora procuramos uma solução particular
da equação completa. A linha de ideia do método dos coeficientes indeterminados é tentar uma forma para
baseada nos termos do lado direito
, com coeficientes desconhecidos e ajustar esses coeficientes impondo a equação diferencial.
Primeiro tratamos o termo
. Propomos uma solução particular do tipo
onde
é constante desconhecida (isso é um coeficiente indeterminado). Calculamos as derivadas:
Substituindo em
obtemos
Queremos que isso seja igual ao termo
do lado direito, então
Portanto uma solução particular para o termo exponencial é
Observação didática rápida: escolhemos
porque
não é solução da homogênea (homogênea tem
), então não há ressonância e não precisamos multiplicar por potências de
.
Passo 4
Agora tratamos o termo polinomial
. Para um termo polinomial de grau 3 tentamos uma solução particular polinomial da mesma forma:
onde
são constantes desconhecidas. Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação
obtemos
Reorganizando por potências de
:
Queremos que isso seja igual ao termo polinomial do lado direito, ou seja
. Portanto devemos ter igualdade dos coeficientes de cada potência de
:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Coeficiente de
: Substituindo dá - Termo constante:
Como , obtemos
Logo os coeficientes são
e
Observação didática: não houve ressonância com a homogênea porque a homogênea não contém polinômios; por isso tentamos polinômio de grau igual ao RHS sem multiplicar por potências de
.
Passo 5
A solução particular total é a soma das particulares dos dois termos do lado direito:
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
Aqui
e
são constantes arbitrárias que agora serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 6
Usamos as condições iniciais para achar
e
.
Primeiro avaliamos
. Note que
e
. Assim
A condição
dá
Agora precisamos de
. Derivando a solução geral:
Avaliar em
(novamente
e
) dá
A condição
implica
Passo 7
Encontramos as constantes: