(Questão 10 - Seção 5.4 - Magalhães) Considere que X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} são variáveis aleatórias contínuas e independentes. Usando função geradora de momentos, determine a distribuição da soma X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{n}, nos seguintes casos:
X_{j} \sim \operatorname{Normal}\left(\mu_{j}, \sigma_{j}^{2}\right), j=1,2, \ldots, n.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Informações dadas:
    • Temos X_{1},X_{2},\ldots,X_{n} variáveis aleatórias contínuas e independentes.
    • Para cada j=1,2,\ldots,n, vale X_{j}\sim \operatorname{Normal}\bigl(\mu_{j},\sigma_{j}^{2}\bigr). Aqui \mu_{j} é a média de X_{j} e \sigma_{j}^{2} é a sua variância.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a distribuição da soma S_n = X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{n} usando função geradora de momentos (MGF).

Passo 2

Definição e propriedade importante das MGFs (essa é a ferramenta que o enunciado pede para usar).
  • Definição da MGF: para uma variável aleatória Y, a função geradora de momentos é
M_{Y}(t)=\mathbb{E}\bigl[e^{tY}\bigr],
onde t é um número real (na vizinhança de zero em geral).
  • Propriedade-chave (produto para variáveis independentes): se Y_{1},\dots,Y_{n} são independentes, então a MGF da soma é o produto das MGFs:
M_{Y_{1}+\cdots+Y_{n}}(t)=\prod_{j=1}^{n} M_{Y_{j}}(t).
Explicação rápida por que isso vale: escrevemos
M_{Y_{1}+\cdots+Y_{n}}(t)=\mathbb{E}\bigl[e^{t(Y_{1}+\cdots+Y_{n})}\bigr]=\mathbb{E}\Bigl[\prod_{j=1}^{n} e^{tY_{j}}\Bigr].
Como as Y_j são independentes, a esperança do produto é o produto das esperanças, o que dá a propriedade acima.

Passo 3

Calcular a MGF de uma normal genérica X\sim\operatorname{Normal}(\mu,\sigma^{2}). Vou fazer a conta completa, passo a passo, porque isso é fundamental.
  • A densidade de X é
f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp\!\Bigl(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\Bigr).
  • Pela definição,
M_X(t)=\mathbb{E}\bigl[e^{tX}\bigr]=\int_{-\infty}^{\infty} e^{tx} f_X(x)\,dx =\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp\!\Bigl(tx-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\Bigr)\,dx.
  • Agora vamos juntar os expoentes e completar o quadrado para transformar a integral numa integral de densidade normal deslocada. O expoente é
tx-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}.
Desenvolvendo e reorganizando:
tx-\frac{x^{2}-2\mu x+\mu^{2}}{2\sigma^{2}} =-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}}+x\Bigl(t+\frac{\mu}{\sigma^{2}}\Bigr)-\frac{\mu^{2}}{2\sigma^{2}}.
Agora escrevemos isso como
-\frac{1}{2\sigma^{2}}\Bigl(x^{2}-2(\mu+\sigma^{2}t)x\Bigr)-\frac{\mu^{2}}{2\sigma^{2}} =-\frac{1}{2\sigma^{2}}\Bigl(x-(\mu+\sigma^{2}t)\Bigr)^{2}+\frac{(\mu+\sigma^{2}t)^{2}-\mu^{2}}{2\sigma^{2}}.
Simplificando a parte que não depende de x:
\frac{(\mu+\sigma^{2}t)^{2}-\mu^{2}}{2\sigma^{2}}=\mu t+\frac{1}{2}\sigma^{2}t^{2}.
  • Substituindo de volta na integral, obtemos
M_X(t)=\exp\!\Bigl(\mu t+\frac{1}{2}\sigma^{2}t^{2}\Bigr)\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp\!\Bigl(-\frac{(x-(\mu+\sigma^{2}t))^{2}}{2\sigma^{2}}\Bigr)\,dx.
  • A integral é a integral de uma densidade Normal com média \mu+\sigma^{2}t e variância \sigma^{2}, portanto vale 1. Logo:
M_X(t)=\exp\!\Bigl(\mu t+\frac{1}{2}\sigma^{2}t^{2}\Bigr).
Observação: essa fórmula vale para todo t\in\mathbb{R} (a MGF da normal existe para todos os t).

Passo 4

Aplicar a propriedade do produto das MGFs às variáveis X_{1},\dots,X_{n}.
  • Pela independência,
M_{S_n}(t)=\prod_{j=1}^{n} M_{X_{j}}(t).
  • Usando a expressão da MGF normal encontrada no passo anterior, para cada j
M_{X_{j}}(t)=\exp\!\Bigl(\mu_{j} t+\frac{1}{2}\sigma_{j}^{2}t^{2}\Bigr).
  • Portanto o produto é
M_{S_n}(t)=\prod_{j=1}^{n}\exp\!\Bigl(\mu_{j} t+\frac{1}{2}\sigma_{j}^{2}t^{2}\Bigr) =\exp\!\Bigl(t\sum_{j=1}^{n}\mu_{j}+\frac{1}{2}t^{2}\sum_{j=1}^{n}\sigma_{j}^{2}\Bigr).

Passo 5

Identificar a distribuição a partir da MGF encontrada.
  • A MGF que encontramos para S_n é
M_{S_n}(t)=\exp\!\Bigl(t\sum_{j=1}^{n}\mu_{j}+\frac{1}{2}t^{2}\sum_{j=1}^{n}\sigma_{j}^{2}\Bigr).
  • Comparando com a forma geral da MGF de uma normal \operatorname{Normal}(\mu,\sigma^{2}), que é
M(t)=\exp\!\Bigl(\mu t+\frac{1}{2}\sigma^{2}t^{2}\Bigr),
vemos que M_{S_n}(t) tem exatamente a forma de MGF de uma normal com parâmetros
\displaystyle \mu=\sum_{j=1}^{n}\mu_{j} e \displaystyle \sigma^{2}=\sum_{j=1}^{n}\sigma_{j}^{2}.
  • Pela unicidade da MGF (isto é, a MGF determina a distribuição, quando existe em torno de zero), concluímos que S_n é normal com esses parâmetros.

Passo 6

Exemplo rápido (para fixar): para n=2 com X_{1}\sim N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2}) e X_{2}\sim N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2}) independentes, temos
S_{2}=X_{1}+X_{2}\sim N(\mu_{1}+\mu_{2},\;\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}).
Isto é útil para visualizar: médias somam e variâncias somam (quando as variáveis são independentes).

Passo 7

Resumo final e incentivo: assim, usando a MGF (seguindo passos de definição, cálculo da MGF da normal, produto para independência e identificação pela forma), chegamos à distribuição da soma. Fica a dica: na prova, escreva claramente a MGF de cada X_j, multiplique e compare com a forma conhecida da MGF da normal — isso ganha pontos e é rápido de fazer. Você está mandando bem, continue assim!

Resposta

\displaystyle X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{n}\sim \operatorname{Normal}\!\Bigl(\sum_{j=1}^{n}\mu_{j},\;\sum_{j=1}^{n}\sigma_{j}^{2}\Bigr)

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