(Questão 10 - Seção 5.4 - Magalhães) Considere que
são variáveis aleatórias contínuas e independentes. Usando função geradora de momentos, determine a distribuição da soma
, nos seguintes casos:
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Informações dadas:
- Temos
variáveis aleatórias contínuas e independentes. - Para cada
, vale . Aqui é a média de e é a sua variância.
- Temos
- O que o enunciado pede:
- Determinar a distribuição da soma
usando função geradora de momentos (MGF).
- Determinar a distribuição da soma
Passo 2
Definição e propriedade importante das MGFs (essa é a ferramenta que o enunciado pede para usar).
- Definição da MGF: para uma variável aleatória
, a função geradora de momentos é
onde
é um número real (na vizinhança de zero em geral).
- Propriedade-chave (produto para variáveis independentes): se
são independentes, então a MGF da soma é o produto das MGFs:
Explicação rápida por que isso vale: escrevemos
Como as
são independentes, a esperança do produto é o produto das esperanças, o que dá a propriedade acima.
Passo 3
Calcular a MGF de uma normal genérica
. Vou fazer a conta completa, passo a passo, porque isso é fundamental.
- A densidade de
é
- Pela definição,
- Agora vamos juntar os expoentes e completar o quadrado para transformar a integral numa integral de densidade normal deslocada. O expoente é
Desenvolvendo e reorganizando:
Agora escrevemos isso como
Simplificando a parte que não depende de
:
- Substituindo de volta na integral, obtemos
- A integral é a integral de uma densidade Normal com média
e variância , portanto vale . Logo:
Observação: essa fórmula vale para todo
(a MGF da normal existe para todos os
).
Passo 4
Aplicar a propriedade do produto das MGFs às variáveis
.
- Pela independência,
- Usando a expressão da MGF normal encontrada no passo anterior, para cada
- Portanto o produto é
Passo 5
Identificar a distribuição a partir da MGF encontrada.
- A MGF que encontramos para
é
- Comparando com a forma geral da MGF de uma normal
, que é
vemos que
tem exatamente a forma de MGF de uma normal com parâmetros
e
.
- Pela unicidade da MGF (isto é, a MGF determina a distribuição, quando existe em torno de zero), concluímos que
é normal com esses parâmetros.
Passo 6
Exemplo rápido (para fixar): para
com
e
independentes, temos
Isto é útil para visualizar: médias somam e variâncias somam (quando as variáveis são independentes).
Passo 7
Resumo final e incentivo: assim, usando a MGF (seguindo passos de definição, cálculo da MGF da normal, produto para independência e identificação pela forma), chegamos à distribuição da soma. Fica a dica: na prova, escreva claramente a MGF de cada
, multiplique e compare com a forma conhecida da MGF da normal — isso ganha pontos e é rápido de fazer. Você está mandando bem, continue assim!