(Questão 9 - Seção 5.4 - Magalhães) Considere que X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} são variáveis aleatórias discretas e independentes. Usando função geradora de momentos, determine a distribuição da soma X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{n}, nos seguintes casos:
X_{j} \sim \operatorname{Geo}(p), j=1,2, \ldots, n.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a distribuição da soma S = X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{n}, onde X_{1},X_{2},\ldots,X_{n} são variáveis aleatórias discretas independentes e, para cada j, X_{j}\sim \operatorname{Geo}(p). As informações relevantes são:
  • As variáveis X_{j} são independentes.
  • Para cada j, temos X_{j}\sim \operatorname{Geo}(p). (Aqui assumimos a parametrização padrão em que \operatorname{Geo}(p) toma valores em \{1,2,\dots\} com P(X_j=k)=p(1-p)^{k-1}.)
  • Queremos a distribuição de S=\sum_{j=1}^{n}X_{j}.

Passo 2

Vou usar função geradora de momentos (MGF). Primeiro, o que é MGF e por que ela é útil?
A função geradora de momentos de uma variável aleatória Y é definida por
M_{Y}(t)=\mathbb{E}\big[e^{tY}\big].
Propriedades importantes (úteis para provas):
  • Se Y_{1},\dots,Y_{n} são independentes, a MGF da soma é o produto das MGFs:
M_{Y_{1}+\cdots+Y_{n}}(t)=\prod_{j=1}^{n}M_{Y_{j}}(t).
  • A MGF (quando existe em uma vizinhança de t=0) determina unicamente a distribuição. Assim, se encontramos a MGF de S e reconhecê-la como a MGF de uma distribuição conhecida, concluímos que S tem essa distribuição.

Passo 3

Calcular a MGF de uma única variável geométrica X\sim\operatorname{Geo}(p) (com suporte \{1,2,\dots\} e P(X=k)=p(1-p)^{k-1}).
Definição:
M_X(t)=\mathbb{E}[e^{tX}]=\sum_{k=1}^{\infty} e^{tk}\,p(1-p)^{k-1}.
Fatorando pe^{t} e mudando a soma para começar em zero:
M_X(t)=pe^{t}\sum_{k=0}^{\infty}\big(e^{t}(1-p)\big)^{k}.
Essa soma é uma série geométrica. Lembrando que, para |r|<1, \sum_{k=0}^{\infty} r^{k}=\dfrac{1}{1-r}. Aplicando com r=e^{t}(1-p) (tomando t tal que |e^{t}(1-p)|<1), obtemos
M_X(t)=\frac{pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}.
Observação: essa expressão vale para t em uma vizinhança de 0 onde a série converge; isso é suficiente para uso de MGFs.

Passo 4

Usando independência das X_{j}, a MGF de S=\sum_{j=1}^{n}X_{j} é o produto das MGFs idênticas:
M_{S}(t)=\big(M_X(t)\big)^{n}=\left(\frac{pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}\right)^{n}.

Passo 5

Agora reconhecemos essa MGF. A forma
M_{S}(t)=\left(\frac{pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}\right)^{n}
é exatamente a MGF da distribuição binomial negativa que conta o número total de ensaios necessários para obter n sucessos, com probabilidade de sucesso p em cada ensaio. Em outras palavras, S tem distribuição \operatorname{NegBin}(r=n,p) no parâmetro que conta o número de ensaios totais até o n-ésimo sucesso (suporte \{n,n+1,\dots\}).
Para fechar com uma verificação direta (via série): a pmf candidata é
P(S=k)=\binom{k-1}{n-1}p^{n}(1-p)^{\,k-n},\qquad k=n,n+1,\dots
Se calcularmos a MGF dessa pmf:
\begin{aligned} \sum_{k=n}^{\infty} e^{tk}\binom{k-1}{n-1}p^{n}(1-p)^{k-n} &=p^{n}e^{tn}\sum_{m=0}^{\infty}\binom{m+n-1}{n-1}\big((1-p)e^{t}\big)^{m}\\\ &=p^{n}e^{tn}\big(1-(1-p)e^{t}\big)^{-n}\\\ &=\left(\frac{pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}\right)^{n}, \end{aligned}
onde usei a identidade da série binomial negativa \sum_{m=0}^{\infty}\binom{m+n-1}{n-1}x^{m}=(1-x)^{-n} para |x|<1. Como a MGF coincide, a distribuição de S é a indicada.
Interpretação intuitiva: somar n geométricas (cada uma sendo o número de ensaios até o primeiro sucesso) dá exatamente o número de ensaios até o n-ésimo sucesso — isto é a binomial negativa com parâmetro de número de sucessos igual a n.

Resposta

P\big(S=k\big)=\binom{k-1}{n-1}p^{n}(1-p)^{\,k-n},\qquad k=n,n+1,\dots

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