(Questão 9 - Seção 5.4 - Magalhães) Considere que
são variáveis aleatórias discretas e independentes. Usando função geradora de momentos, determine a distribuição da soma
, nos seguintes casos:
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a distribuição da soma
, onde
são variáveis aleatórias discretas independentes e, para cada
,
. As informações relevantes são:
- As variáveis
são independentes. - Para cada
, temos . (Aqui assumimos a parametrização padrão em que toma valores em com .) - Queremos a distribuição de
.
Passo 2
Vou usar função geradora de momentos (MGF). Primeiro, o que é MGF e por que ela é útil?
A função geradora de momentos de uma variável aleatória
é definida por
Propriedades importantes (úteis para provas):
- Se
são independentes, a MGF da soma é o produto das MGFs:
- A MGF (quando existe em uma vizinhança de
) determina unicamente a distribuição. Assim, se encontramos a MGF de e reconhecê-la como a MGF de uma distribuição conhecida, concluímos que tem essa distribuição.
Passo 3
Calcular a MGF de uma única variável geométrica
(com suporte
e
).
Definição:
Fatorando
e mudando a soma para começar em zero:
Essa soma é uma série geométrica. Lembrando que, para
,
. Aplicando com
(tomando
tal que
), obtemos
Observação: essa expressão vale para
em uma vizinhança de
onde a série converge; isso é suficiente para uso de MGFs.
Passo 4
Usando independência das
, a MGF de
é o produto das MGFs idênticas:
Passo 5
Agora reconhecemos essa MGF. A forma
é exatamente a MGF da distribuição binomial negativa que conta o número total de ensaios necessários para obter
sucessos, com probabilidade de sucesso
em cada ensaio. Em outras palavras,
tem distribuição
no parâmetro que conta o número de ensaios totais até o
-ésimo sucesso (suporte
).
Para fechar com uma verificação direta (via série): a pmf candidata é
Se calcularmos a MGF dessa pmf:
onde usei a identidade da série binomial negativa
para
. Como a MGF coincide, a distribuição de
é a indicada.
Interpretação intuitiva: somar
geométricas (cada uma sendo o número de ensaios até o primeiro sucesso) dá exatamente o número de ensaios até o
-ésimo sucesso — isto é a binomial negativa com parâmetro de número de sucessos igual a
.