Questão 9. Sejam
um anel e
. Dizemos que
é um elemento nilpotente se existe um inteiro positivo
tal que
.
(a) Dê exemplos de uma infinidade de elementos nilpotentes em um anel não comutativo.
(b) Prove que se
e
são elementos nilpotentes de
e
, então
(consequentemente
) é elemento nilpotente em
.
(c) Mostre, com um exemplo, que a hipótese
é essencial para o item (b).
(d) Seja
um elemento nilpotente em
. Mostre que se
possui identidade, então
é possui inverso multiplicativo (encontre uma fórmula para esse inverso).
(a) Dê exemplos de uma infinidade de elementos nilpotentes em um anel não comutativo.
(b) Prove que se
(c) Mostre, com um exemplo, que a hipótese
(d) Seja
Passo 1
O enunciado trata de anéis e elementos nilpotentes. Precisamos:
– (a) dar um exemplo de anel não comutativo que tenha infinitos elementos nilpotentes;
– (b) provar que, se ,
e
, então
(e portanto
) é nilpotente;
– (c) mostrar com exemplo que a comutatividade é essencial;
– (d) mostrar que, em anel com identidade, se então
é invertível e fornecer a fórmula do inverso.
Vamos usar propriedades de matrizes para (a) e (c), o teorema binomial em anéis comutativos para (b) e a série geométrica truncada para (d).
– (a) dar um exemplo de anel não comutativo que tenha infinitos elementos nilpotentes;
– (b) provar que, se
– (c) mostrar com exemplo que a comutatividade
– (d) mostrar que, em anel com identidade, se
Vamos usar propriedades de matrizes para (a) e (c), o teorema binomial em anéis comutativos para (b) e a série geométrica truncada para (d).
Passo 2
(a) Seja
. Para cada
considere
Então
Logo cada
é nilpotente e, como há infinitos
, obtemos infinidade de elementos nilpotentes em
.]
Passo 3
(b) Suponha
,
e
. Então, pelo teorema binomial em anel comutativo (pois
e
comutam),
Em cada termo, ou
(logo
) ou
(logo
). Assim
, ou seja,
é nilpotente. Como
também comuta com
e
, segue analogamente que
é nilpotente.
Passo 4
(c) Em
, sejam
Temos
e
, mas
Logo
não é nilpotente. Aqui
, mostrando que a hipótese de comutatividade é essencial.]
Passo 5
(d) Seja
em anel
com identidade
. Considere a soma finita
Então
Logo
, isto é,
é invertível com inverso
.
Resposta
(a) Por exemplo, em
as matrizes
para
.
(b) Se ,
e
, então por binômio
, logo
e
são nilpotentes.
(c) Em ,
,
não comutam e
não é nilpotente.
(d) Se , então
.
(b) Se
(c) Em
(d) Se