Questão 9. Sejam A um anel e x \in A. Dizemos que x \in A é um elemento nilpotente se existe um inteiro positivo n tal que x^{n}=0.
(a) Dê exemplos de uma infinidade de elementos nilpotentes em um anel não comutativo.
(b) Prove que se x e y são elementos nilpotentes de A e x y=y x, então x+y (consequentemente x-y ) é elemento nilpotente em A.
(c) Mostre, com um exemplo, que a hipótese x y=y x é essencial para o item (b).
(d) Seja x um elemento nilpotente em a. Mostre que se A possui identidade, então 1-x é possui inverso multiplicativo (encontre uma fórmula para esse inverso).

Passo 1

O enunciado trata de anéis e elementos nilpotentes. Precisamos:
– (a) dar um exemplo de anel não comutativo que tenha infinitos elementos nilpotentes;
– (b) provar que, se x^r=0, y^s=0 e xy=yx, então x+y (e portanto x-y) é nilpotente;
– (c) mostrar com exemplo que a comutatividade xy=yx é essencial;
– (d) mostrar que, em anel com identidade, se x^n=0 então 1-x é invertível e fornecer a fórmula do inverso.
Vamos usar propriedades de matrizes para (a) e (c), o teorema binomial em anéis comutativos para (b) e a série geométrica truncada para (d).

Passo 2

(a) Seja A=M_2(\mathbb{Z}). Para cada a\in\mathbb{Z} considere
x_a = \begin{pmatrix}0 & a\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Então
x_a^2 = \begin{pmatrix}0 & a\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Logo cada x_a é nilpotente e, como há infinitos a\in\mathbb{Z}, obtemos infinidade de elementos nilpotentes em A.]

Passo 3

(b) Suponha x^r=0, y^s=0 e xy=yx. Então, pelo teorema binomial em anel comutativo (pois x e y comutam),
(x+y)^{\,r+s-1} = \sum_{k=0}^{r+s-1} \binom{r+s-1}{k} x^k\,y^{\,r+s-1-k}.
Em cada termo, ou k\ge r (logo x^k=0) ou r+s-1-k\ge s (logo y^{r+s-1-k}=0). Assim (x+y)^{r+s-1}=0, ou seja, x+y é nilpotente. Como -y também comuta com x e (-y)^s=0, segue analogamente que x-y é nilpotente.

Passo 4

(c) Em A=M_2(\mathbb{R}), sejam
x=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}, \quad y=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.
Temos x^2=0 e y^2=0, mas
x+y = \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}, \quad (x+y)^2 = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}\neq 0.
Logo x+y não é nilpotente. Aqui xy\neq yx, mostrando que a hipótese de comutatividade é essencial.]

Passo 5

(d) Seja x^n=0 em anel A com identidade 1. Considere a soma finita
u = 1 + x + x^2 + \cdots + x^{n-1}.
Então
(1-x)\,u = 1 - x^n = 1 - 0 = 1 \quad\text{e}\quad u\,(1-x) = 1 - x^n = 1.
Logo u=(1-x)^{-1}, isto é, 1-x é invertível com inverso 1+x+\cdots+x^{n-1}.

Resposta

(a) Por exemplo, em M_2(\mathbb{Z}) as matrizes \begin{pmatrix}0 & a\\\ 0 & 0\end{pmatrix} para a\in\mathbb{Z}.
(b) Se x^r=0, y^s=0 e xy=yx, então por binômio (x+y)^{r+s-1}=0, logo x+y e x-y são nilpotentes.
(c) Em M_2(\mathbb{R}), x=\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\\ 0&0\end{smallmatrix}\bigr), y=\bigl(\begin{smallmatrix}0&0\\\ 1&0\end{smallmatrix}\bigr) não comutam e x+y não é nilpotente.
(d) Se x^n=0, então (1-x)^{-1}=1 + x + x^2 + \cdots + x^{n-1}.

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