Questão 8. Use a Questão 7 para mostrar que se
é um domínio finito então
é um corpo.
Passo 1
O enunciado afirma que
é um domínio finito, isto é, um anel comutativo sem divisores de zero e com número finito de elementos. Queremos mostrar que
é um corpo, ou seja, que todo elemento não nulo de
tem inverso multiplicativo. Para isso usaremos a Questão 7, que diz que num conjunto finito toda aplicação injetiva é também sobrejetiva.
Passo 2
Seja
com
. Definimos a aplicação
Observe que
é um homomorfismo do grupo aditivo de
.
Passo 3
Mostramos que
é injetiva. De fato, se
então
Como
é domínio e
, segue
e, portanto,
. Logo
é injetiva.
Passo 4
Pela Questão 7, como
é finito, a aplicação injetiva
é também sobrejetiva. Assim existe
tal que
ou seja,
Isso mostra que
é o inverso multiplicativo de
.
Resposta
Como todo elemento não nulo de
possui inverso, concluímos que
é um corpo.