Questão 8. Use a Questão 7 para mostrar que se A é um domínio finito então A é um corpo.

Passo 1

O enunciado afirma que A é um domínio finito, isto é, um anel comutativo sem divisores de zero e com número finito de elementos. Queremos mostrar que A é um corpo, ou seja, que todo elemento não nulo de A tem inverso multiplicativo. Para isso usaremos a Questão 7, que diz que num conjunto finito toda aplicação injetiva é também sobrejetiva.

Passo 2

Seja a\in A com a\neq0. Definimos a aplicação
\varphi_a\colon A \to A,\qquad \varphi_a(x)=a\cdot x.
Observe que \varphi_a é um homomorfismo do grupo aditivo de A.

Passo 3

Mostramos que \varphi_a é injetiva. De fato, se \varphi_a(x)=\varphi_a(y) então
a\cdot x = a\cdot y \quad\Longrightarrow\quad a\cdot (x - y) = 0.
Como A é domínio e a\neq0, segue x-y=0 e, portanto, x=y. Logo \varphi_a é injetiva.

Passo 4

Pela Questão 7, como A é finito, a aplicação injetiva \varphi_a é também sobrejetiva. Assim existe x\in A tal que
\varphi_a(x)=1,
ou seja,
a\cdot x = 1.
Isso mostra que x é o inverso multiplicativo de a.

Resposta

Como todo elemento não nulo de A possui inverso, concluímos que A é um corpo.

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