Questão 10
Seja a reta que passa pelo ponto Q(0, a, 1) com vetor diretor (1,0,-1).
Qual deve ser o valor de a para que o quadrado da distância desta reta ao ponto P(1,2,3) seja igual a 9 / 2 ?

Passo 1

O enunciado dá a reta L que passa por Q(0,a,1) com vetor diretor vec v=(1,0,-1) e pede o valor de a tal que o quadrado da distância de P(1,2,3) à reta seja tfrac92. Vamos usar a fórmula
d^2 = l|QPtimes vec vr|^2|vec v|^2,
onde QP=P-Q.

Passo 2

Calculamos QP. Como P=(1,2,3) e Q=(0,a,1), temos
QP = P - Q = (1 - 0,;2 - a,;3 - 1) = (1,;2 - a,;2)

Passo 3

Fazemos o produto vetorial QPtimes vec v com vec v=(1,0,-1):
QPtimes vec v = (1,;2 - a,;2)times(1,0,-1) = l(a-2,;3,;a-2r)
Assim,
l|QPtimes vec vr|^2 =(a-2)^2 + 3^2 + (a-2)^2 =2(a-2)^2 + 9
Além disso,
|vec v|^2 = 1^2 + 0^2 + (-1)^2 = 2

Passo 4

Substituindo na fórmula de d^2 e igualando a tfrac92, temos
d^2 = 2(a-2)^2 + 92 = 92 Longrightarrow 2(a-2)^2 + 9 = 9 Longrightarrow (a-2)^2 = 0
Logo a-2=0.

Resposta

O valor de a que satisfaz a condição é a=2.

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