Questāo 6
Os vetores u=(2,-1,-3), v=(-1,1,-4) e w=(m, 0, m) determinam um paralelepípedo de volume 48.
Ache um valor de m.

Passo 1

O enunciado dá os vetores u=(2,-1,-3), v=(-1,1,-4) e w=(m,0,m) e pede o valor de m tal que o volume do paralelepípedo por eles determinado seja 48. O conteúdo envolvido é o produto misto (ou triplo escalar), que relaciona volume a V = l|ucdot(vtimesw)r|.

Passo 2

Usamos a fórmula do volume em termos do produto misto:
V = l|ucdot(vtimesw)r|
Queremos l|ucdot(vtimesw)r| = 48.

Passo 3

Calculemos primeiro vtimesw. Pela regra de Sarrus ou determinante:
vtimesw = i & j & k -1 & 1 & -4 m & 0 & m = l(1cdot m -(-4)cdot0r)i - l((-1)cdot m -(-4)cdot mr)j + l((-1)cdot0 - 1cdot mr)k
Isso dá
vtimesw = l(m,,-3m,,-mr)

Passo 4

Agora o produto escalar ucdot(vtimesw):
ucdot(vtimesw) = (2,-1,-3)cdot(m,-3m,-m) =2m + (-1)(-3m) + (-3)(-m) =2m +3m +3m =8m

Passo 5

Impondo l|8mr|=48, obtemos
|m| = 488 = 6,
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m = 6 ou m = -6

Resposta

m=6 ou m=-6

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