Seja S um operador ortogonal em um espaço vetorial real. Qual dos seguintes operadores é necessariamente autoadjunto?
Escolha uma opção:
a. S^2
b. S+S^T
c. Nenhuma das alternativas
d. S^3
e. S-S^T

Passo 1

O enunciado diz que S é um operador ortogonal num espaço vetorial real, ou seja, sua matriz representa uma transformação linear que satisfaz
S^TS = I,
o que implica
S^T = S^-1
A pergunta é: qual das opções dadas é necessariamente autoadjunta (i.e.\ igual à sua própria transposta)?

Passo 2

Lembramos que um operador A é autoadjunto (ou simétrico) se
A^T = A
Vamos verificar cada alternativa aplicando a definição de transposta e usando S^T=S^-1.

Passo 3

Analisando a alternativa (a) ;S^2.
Calculamos a transposta:
l(S^2r)^T = (S^T)^2 = (S^-1)^2 = S^-2
Em geral S^-2neq S^2, então S^2 não é necessariamente autoadjunta.

Passo 4

Analisando (d) ;S^3.
De modo análogo,
l(S^3r)^T = (S^T)^3 = (S^-1)^3 = S^-3,
e em geral S^-3neq S^3, logo S^3 também não é necessariamente autoadjunta.

Passo 5

Analisando (e) ;S - S^T.
Temos
l(S - S^Tr)^T = S^T - (S^T)^T = S^T - S = -l(S - S^Tr),
ou seja, S - S^T é antissimétrico, não simétrico.

Passo 6

Analisando (b) ;S + S^T.
Calculamos a transposta:
l(S + S^Tr)^T = S^T + (S^T)^T = S^T + S = S + S^T
Concluímos que S + S^T é sempre igual à sua transposta, logo é autoadjunto.

Resposta

b. S + S^T é necessariamente autoadjunto.

Exercícios relacionados