Seja
um operador ortogonal em um espaço vetorial real. Qual dos seguintes operadores é necessariamente autoadjunto?
Escolha uma opção:
a.
b.
c. Nenhuma das alternativas
d.
e.
a.
b.
c. Nenhuma das alternativas
d.
e.
Passo 1
O enunciado diz que
é um operador ortogonal num espaço vetorial real, ou seja, sua matriz representa uma transformação linear que satisfaz
o que implica
A pergunta é: qual das opções dadas é necessariamente autoadjunta (i.e.\ igual à sua própria transposta)?
Passo 2
Lembramos que um operador
é autoadjunto (ou simétrico) se
Vamos verificar cada alternativa aplicando a definição de transposta e usando
.
Passo 3
Analisando a alternativa (a)
.
Calculamos a transposta:
Calculamos a transposta:
Em geral
, então
não é necessariamente autoadjunta.
Passo 4
Analisando (d)
.
De modo análogo,
De modo análogo,
e em geral
, logo
também não é necessariamente autoadjunta.
Passo 5
Analisando (e)
.
Temos
Temos
ou seja,
é antissimétrico, não simétrico.
Passo 6
Analisando (b)
.
Calculamos a transposta:
Calculamos a transposta:
Concluímos que
é sempre igual à sua transposta, logo é autoadjunto.
Resposta
b.
é necessariamente autoadjunto.