Questão 10. Sejam
um
-espaço vetorial de dimensão
uma base ortonormal de
. Sabemos que dado
existem
tais que
Considere o isomorfismo
definido por
Mostre que
é uma isometria.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma verificação concreta:
-
é um -espaço vetorial de dimensão . -
é uma base ortonormal de . - Para qualquer
existem escalares tais que
- O isomorfismo
é definido por
O que se pede: mostrar que
é uma isometria (ou seja, que preserva distância/norma — equivalentemente, que preserva o produto interno).
Passo 2
Vou lembrar e explicar os conceitos que vou usar (isso é importante para você entender como provar na prova):
- Produto interno em
: denotamos por o produto interno em . A partir dele definimos a norma por . - Produto interno padrão em
: para e definimos
que é o produto escalar usual (o “dot product”). A norma em
é
.
- Ortonormalidade da base
significa que, para todos ,
onde
se
e
se
.
Esses fatos serão usados diretamente nos cálculos.
Passo 3
Mostro primeiro a propriedade chave: se
e
são vetores em
(ou seja,
), então o produto interno
pode ser calculado expandindo linearmente e usando ortonormalidade. Escrevo isso passo a passo.
Passo 4
Expandindo o produto interno por bilinearidade (propriedade do produto interno):
Aqui usei que o produto interno é linear na primeira e segunda coordenadas (bilinear) e que constantes podem sair do produto.
Passo 5
Agora uso a ortonormalidade:
. Substituindo na soma dupla:
A soma dupla com
anula todos os termos com
e deixa apenas os termos com
, portanto isso reduz a
Passo 6
Observe que
é exatamente o produto interno padrão (o dot product) entre os vetores de coordenadas
e
. Ou seja,
Passo 7
A igualdade acima mostra que
preserva o produto interno entre quaisquer
. Preservar produto interno implica preservar norma (basta tomar
):
portanto
para todo
.
Passo 8
Conclusão prática e intuitiva: como
preserva produto interno (e então normas e distâncias),
é uma isometria entre
e
. Na prova você pode justificar uma dessas duas formas (produto interno ou norma); ambas são equivalentes. Também é claro que
é linear e, por mandar base para a base canônica, é bijetiva — então é um isomorfismo linear que é isometria.