Questão 10. Sejam V um \mathbb{R}-espaço vetorial de dimensão n \geq 1 \mathrm{e} B=\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\} uma base ortonormal de V. Sabemos que dado v \in V existem \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n} \in \mathbb{R} tais que
v=\alpha_{1} v_{1}+\cdots+\alpha_{n} v_{n}
Considere o isomorfismo T: V \longrightarrow \mathbb{R}^{n} definido por
T(v)=T\left(v=\alpha_{1} v_{1}+\cdots+\alpha_{n} v_{n}\right)=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right)
Mostre que T é uma isometria.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma verificação concreta:
  • V é um \mathbb{R}-espaço vetorial de dimensão n\ge 1.
  • B=\{v_{1},\ldots,v_{n}\} é uma base ortonormal de V.
  • Para qualquer v\in V existem escalares \alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}\in\mathbb{R} tais que
v=\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{n}v_{n}.
  • O isomorfismo T:V\to\mathbb{R}^{n} é definido por
T\!\left(\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{n}v_{n}\right)=(\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}).
O que se pede: mostrar que T é uma isometria (ou seja, que preserva distância/norma — equivalentemente, que preserva o produto interno).

Passo 2

Vou lembrar e explicar os conceitos que vou usar (isso é importante para você entender como provar na prova):
  • Produto interno em V: denotamos por \langle\cdot,\cdot\rangle o produto interno em V. A partir dele definimos a norma por \|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}.
  • Produto interno padrão em \mathbb{R}^{n}: para a=(a_{1},\dots,a_{n}) e b=(b_{1},\dots,b_{n}) definimos
\langle a,b\rangle_{\mathbb{R}^{n}}=a_{1}b_{1}+\cdots+a_{n}b_{n},
que é o produto escalar usual (o “dot product”). A norma em \mathbb{R}^n é \|a\|_{\mathbb{R}^{n}}=\sqrt{\langle a,a\rangle_{\mathbb{R}^{n}}}.
  • Ortonormalidade da base B significa que, para todos i,j,
\langle v_{i},v_{j}\rangle=\delta_{ij},
onde \delta_{ij}=1 se i=j e \delta_{ij}=0 se i\ne j.
Esses fatos serão usados diretamente nos cálculos.

Passo 3

Mostro primeiro a propriedade chave: se v=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}v_{i} e w=\sum_{i=1}^{n}\beta_{i}v_{i} são vetores em V (ou seja, \alpha_{i},\beta_{i}\in\mathbb{R}), então o produto interno \langle v,w\rangle pode ser calculado expandindo linearmente e usando ortonormalidade. Escrevo isso passo a passo.

Passo 4

Expandindo o produto interno por bilinearidade (propriedade do produto interno):
\langle v,w\rangle = \left\langle \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}v_{i},\;\sum_{j=1}^{n}\beta_{j}v_{j}\right\rangle = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\alpha_{i}\beta_{j}\langle v_{i},v_{j}\rangle.
Aqui usei que o produto interno é linear na primeira e segunda coordenadas (bilinear) e que constantes podem sair do produto.

Passo 5

Agora uso a ortonormalidade: \langle v_{i},v_{j}\rangle=\delta_{ij}. Substituindo na soma dupla:
\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\alpha_{i}\beta_{j}\langle v_{i},v_{j}\rangle = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\alpha_{i}\beta_{j}\delta_{ij}.
A soma dupla com \delta_{ij} anula todos os termos com i\ne j e deixa apenas os termos com i=j, portanto isso reduz a
\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\beta_{i}.

Passo 6

Observe que \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\beta_{i} é exatamente o produto interno padrão (o dot product) entre os vetores de coordenadas T(v)=(\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}) e T(w)=(\beta_{1},\ldots,\beta_{n}). Ou seja,
\langle v,w\rangle=\langle T(v),T(w)\rangle_{\mathbb{R}^{n}}.

Passo 7

A igualdade acima mostra que T preserva o produto interno entre quaisquer v,w\in V. Preservar produto interno implica preservar norma (basta tomar w=v):
\|v\|^{2}=\langle v,v\rangle=\langle T(v),T(v)\rangle_{\mathbb{R}^{n}}=\|T(v)\|_{\mathbb{R}^{n}}^{2},
portanto \|v\|=\|T(v)\|_{\mathbb{R}^{n}} para todo v.

Passo 8

Conclusão prática e intuitiva: como T preserva produto interno (e então normas e distâncias), T é uma isometria entre (V,\langle\cdot,\cdot\rangle) e (\mathbb{R}^{n},\langle\cdot,\cdot\rangle_{\mathbb{R}^{n}}). Na prova você pode justificar uma dessas duas formas (produto interno ou norma); ambas são equivalentes. Também é claro que T é linear e, por mandar base para a base canônica, é bijetiva — então é um isomorfismo linear que é isometria.

Resposta

\langle v,w\rangle=\langle T(v),T(w)\rangle_{\mathbb{R}^{n}} para todos v,w\in V, logo T preserva produto interno (e normas) e é isometria.

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