Questão 9. Considere
com o produto interno
e o subespaço
.
a) Encontre uma base ortogonal de
aplicando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt em
.
b) Encontre a projeção de
sobre
.
a) Encontre uma base ortogonal de
b) Encontre a projeção de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e nos dá informações claras. Vou listar tudo de forma direta para a gente não se perder.
- Espaço de funções polinomiais com produto interno dado por
- Subespaço
, ou seja, o espaço dos polinômios de grau ≤ . - Base inicial a ser ortogonalizada:
. - (a) Encontrar uma base ortogonal de
aplicando Gram–Schmidt nessa base. - (b) Encontrar a projeção ortogonal de
sobre .
Observação útil (que vou usar nas contas): integrais de funções ímpares em
valem zero. Isto significa que muitos produtos internos envolvendo potências de
desaparecerão (por exemplo,
quando
é ímpar).
Passo 2
Vamos aplicar o processo de Gram–Schmidt passo a passo. Lembrete da fórmula: dado um vetor (função)
e um subespaço gerado por vetores ortogonais
, a projeção de
sobre cada
é
E o passo de Gram–Schmidt para produzir
é
Começamos com
,
,
,
.
Defino
.
Calculo a norma (produto interno consigo mesmo) de
:
Passo 3
Agora
. Calculo projeção sobre
:
(porque
é função ímpar). Logo a projeção é zero e
Norma de
:
Passo 4
Agora
. Preciso subtrair projeções sobre
e
.
Primeiro,
Como , a projeção sobre
é
Como
Segundo,
(ímpar).
Portanto a projeção sobre é zero.
Portanto a projeção sobre
Assim
Calculo a norma de
(vamos usar depois se necessário):
Avalio termo a termo:
Portanto
Passo 5
Agora
. Subtraímos projeções sobre
.
Primeiro,
(ímpar), então projeção sobre
é zero.
Segundo,
Como , a projeção sobre
é
Como
Terceiro,
(porque e
são ímpares). Logo projeção sobre
é zero.
(porque
Portanto
Calculo a norma (opcional, útil para projeção depois):
Avalio:
Logo
Passo 6
Resumo: as funções
obtidas por Gram–Schmidt formam uma base ortogonal de
:
(Estas são, até constantes multiplicativas, os polinômios de Legendre
.)
Passo 7
Agora vamos projetar
sobre
. Como
é ortogonal, a projeção ortogonal é
Calculo cada produto interno
.
-
(ímpar). -
-
(ambos ímpares). -
Passo 8
Agora as razões
:
- Para
: coeficiente . - Para
: coeficiente
- Para
: coeficiente . - Para
: coeficiente
Portanto
Passo 9
Simplifico a expressão final reunindo os termos em
e
:
Calculo
. Assim
Resposta
a) Base ortogonal:
.\n
b) .
b)