Questão 9. Considere P(t) com o produto interno
\langle f, g\rangle=\int_{-1}^{1} f(t) g(t) d t
e o subespaço W=P_{3}(t).
a) Encontre uma base ortogonal de W aplicando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt em \left\{1, t, t^{2}, t^{3}\right\}.
b) Encontre a projeção de f(t)=t^{5} sobre W.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e nos dá informações claras. Vou listar tudo de forma direta para a gente não se perder.
  • Espaço de funções polinomiais com produto interno dado por
\langle f, g\rangle=\int_{-1}^{1} f(t)\,g(t)\,dt.
  • Subespaço W=P_{3}(t), ou seja, o espaço dos polinômios de grau ≤ 3.
  • Base inicial a ser ortogonalizada: \{1,\; t,\; t^{2},\; t^{3}\}.
  • (a) Encontrar uma base ortogonal de W aplicando Gram–Schmidt nessa base.
  • (b) Encontrar a projeção ortogonal de f(t)=t^{5} sobre W.
Observação útil (que vou usar nas contas): integrais de funções ímpares em [-1,1] valem zero. Isto significa que muitos produtos internos envolvendo potências de t desaparecerão (por exemplo, \int_{-1}^{1} t^{k}\,dt=0 quando k é ímpar).

Passo 2

Vamos aplicar o processo de Gram–Schmidt passo a passo. Lembrete da fórmula: dado um vetor (função) u e um subespaço gerado por vetores ortogonais v_1,\dots,v_{k}, a projeção de u sobre cada v_j é
\operatorname{proj}_{v_j}(u)=\frac{\langle u,v_j\rangle}{\langle v_j,v_j\rangle}\,v_j.
E o passo de Gram–Schmidt para produzir v_{k+1} é
v_{k+1}=u_{k+1}-\sum_{j=1}^{k}\operatorname{proj}_{v_j}(u_{k+1}).
Começamos com u_1=1, u_2=t, u_3=t^2, u_4=t^3.
Defino v_1=u_1=1.
Calculo a norma (produto interno consigo mesmo) de v_1:
\langle v_1,v_1\rangle=\int_{-1}^{1}1\cdot1\,dt=2.

Passo 3

Agora u_2=t. Calculo projeção sobre v_1:
\langle u_2,v_1\rangle=\int_{-1}^{1} t\cdot 1\,dt=0
(porque t é função ímpar). Logo a projeção é zero e
v_2 = u_2 - \operatorname{proj}_{v_1}(u_2)=t.
Norma de v_2:
\langle v_2,v_2\rangle=\int_{-1}^{1} t^2\,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_{-1}^{1}=\frac{2}{3}.

Passo 4

Agora u_3=t^2. Preciso subtrair projeções sobre v_1 e v_2.
Primeiro, \langle u_3,v_1\rangle=\int_{-1}^{1} t^2\cdot 1\,dt=\frac{2}{3}.
Como \langle v_1,v_1\rangle=2, a projeção sobre v_1 é
\frac{\frac{2}{3}}{2}\,v_1=\frac{1}{3}\cdot 1.
Segundo, \langle u_3,v_2\rangle=\int_{-1}^{1} t^2\cdot t\,dt=\int_{-1}^{1} t^3\,dt=0 (ímpar).
Portanto a projeção sobre v_2 é zero.
Assim
v_3 = u_3 - \operatorname{proj}_{v_1}(u_3) - \operatorname{proj}_{v_2}(u_3) = t^2 - \frac{1}{3}.
Calculo a norma de v_3 (vamos usar depois se necessário):
\langle v_3,v_3\rangle=\int_{-1}^{1}\left(t^2-\frac{1}{3}\right)^2 dt =\int_{-1}^{1}\left(t^4-\frac{2}{3}t^2+\frac{1}{9}\right)dt.
Avalio termo a termo:
\int_{-1}^{1} t^4\,dt=\frac{2}{5},\qquad \int_{-1}^{1} t^2\,dt=\frac{2}{3},\qquad \int_{-1}^{1}\frac{1}{9}\,dt=\frac{2}{9}.
Portanto
\langle v_3,v_3\rangle=\frac{2}{5}-\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}+\frac{2}{9} = \frac{2}{5}-\frac{4}{9}+\frac{2}{9} = \frac{2}{5}-\frac{2}{9}=\frac{8}{45}.

Passo 5

Agora u_4=t^3. Subtraímos projeções sobre v_1,v_2,v_3.
Primeiro, \langle u_4,v_1\rangle=\int_{-1}^{1} t^3\cdot1\,dt=0 (ímpar), então projeção sobre v_1 é zero.
Segundo, \langle u_4,v_2\rangle=\int_{-1}^{1} t^3\cdot t\,dt=\int_{-1}^{1} t^4\,dt=\frac{2}{5}.
Como \langle v_2,v_2\rangle=\frac{2}{3}, a projeção sobre v_2 é
\frac{\frac{2}{5}}{\frac{2}{3}}\,v_2=\frac{3}{5}\,t.
Terceiro, \langle u_4,v_3\rangle=\int_{-1}^{1} t^3\left(t^2-\frac{1}{3}\right)dt =\int_{-1}^{1} (t^5-\tfrac{1}{3}t^3)\,dt=0
(porque t^5 e t^3 são ímpares). Logo projeção sobre v_3 é zero.
Portanto
v_4 = u_4 - \operatorname{proj}_{v_2}(u_4) = t^3 - \frac{3}{5}t.
Calculo a norma (opcional, útil para projeção depois):
\langle v_4,v_4\rangle=\int_{-1}^{1}\left(t^3-\frac{3}{5}t\right)^2 dt =\int_{-1}^{1}\left(t^6-\frac{6}{5}t^4+\frac{9}{25}t^2\right)dt.
Avalio:
\int_{-1}^{1} t^6\,dt=\frac{2}{7},\qquad \int_{-1}^{1} t^4\,dt=\frac{2}{5},\qquad \int_{-1}^{1} t^2\,dt=\frac{2}{3}.
Logo
\langle v_4,v_4\rangle=\frac{2}{7}-\frac{6}{5}\cdot\frac{2}{5}+\frac{9}{25}\cdot\frac{2}{3} =\frac{2}{7}-\frac{12}{25}+\frac{18}{75} =\frac{2}{7}-\frac{6}{25}=\frac{8}{175}.

Passo 6

Resumo: as funções v_1,v_2,v_3,v_4 obtidas por Gram–Schmidt formam uma base ortogonal de W=P_3(t):
v_1=1,\qquad v_2=t,\qquad v_3=t^2-\frac{1}{3},\qquad v_4=t^3-\frac{3}{5}t.
(Estas são, até constantes multiplicativas, os polinômios de Legendre P_0,P_1,P_2,P_3.)

Passo 7

Agora vamos projetar f(t)=t^5 sobre W. Como \{v_1,v_2,v_3,v_4\} é ortogonal, a projeção ortogonal é
\operatorname{proj}_W f=\sum_{j=1}^{4}\frac{\langle f,v_j\rangle}{\langle v_j,v_j\rangle}\,v_j.
Calculo cada produto interno \langle f,v_j\rangle.
  • \langle f,v_1\rangle=\int_{-1}^{1} t^5\cdot 1\,dt=0 (ímpar).
  • \langle f,v_2\rangle=\int_{-1}^{1} t^5\cdot t\,dt=\int_{-1}^{1} t^6\,dt=\frac{2}{7}.
  • \langle f,v_3\rangle=\int_{-1}^{1} t^5\left(t^2-\frac{1}{3}\right)dt =\int_{-1}^{1} (t^7-\tfrac{1}{3}t^5)\,dt=0 (ambos ímpares).
  • \langle f,v_4\rangle=\int_{-1}^{1} t^5\left(t^3-\frac{3}{5}t\right)dt =\int_{-1}^{1} \left(t^8-\frac{3}{5}t^6\right)dt =\frac{2}{9}-\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{7} =\frac{2}{9}-\frac{6}{35}=\frac{16}{315}.

Passo 8

Agora as razões \frac{\langle f,v_j\rangle}{\langle v_j,v_j\rangle}:
  • Para v_1: coeficiente =0.
  • Para v_2: coeficiente
\frac{\frac{2}{7}}{\frac{2}{3}}=\frac{2}{7}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{7}.
  • Para v_3: coeficiente =0.
  • Para v_4: coeficiente
\frac{\frac{16}{315}}{\frac{8}{175}}=\frac{16}{315}\cdot\frac{175}{8}=\frac{10}{9}.
Portanto
\operatorname{proj}_W t^5 = \frac{3}{7}\,v_2 + \frac{10}{9}\,v_4 = \frac{3}{7}t + \frac{10}{9}\left(t^3-\frac{3}{5}t\right).

Passo 9

Simplifico a expressão final reunindo os termos em t^3 e t:
\operatorname{proj}_W t^5 = \frac{10}{9}t^3 + \left(\frac{3}{7}-\frac{10}{9}\cdot\frac{3}{5}\right)t = \frac{10}{9}t^3 + \left(\frac{3}{7}-\frac{2}{3}\right)t.
Calculo \frac{3}{7}-\frac{2}{3}=\frac{9-14}{21}=-\frac{5}{21}. Assim
\operatorname{proj}_W t^5 = \frac{10}{9}t^3 - \frac{5}{21}t.

Resposta

a) Base ortogonal: 1,\; t,\; t^{2}-\dfrac{1}{3},\; t^{3}-\dfrac{3}{5}t.\n
b) \operatorname{proj}_{W}t^{5}=\dfrac{10}{9}t^{3}-\dfrac{5}{21}t.

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