Questão 8. Considere
munido com as operações de soma e produto por escalar usuais. Defina
Seja
. Determine
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta.
- Espaço:
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar. - Produto interno:
- Subespaço
. Ou seja, é o conjunto das funções pares (even). - Pedido: determinar
, o complemento ortogonal de ; isto é, o conjunto de todas as funções em ortogonais a toda função de .
Passo 2
Estratégia que vou usar (sem resolver ainda): mostrar duas inclusões para identificar
.
- Mostrar que toda função ímpar pertence a
. - Mostrar que toda função em
é necessariamente ímpar.
Se eu conseguir as duas inclusões, concluo que
é exatamente o conjunto das funções ímpares. Agora vamos executar isso passo a passo.
Passo 3
Mostrar que qualquer função ímpar é ortogonal a toda função par (primeira inclusão).
Seja
tal que
para todo
(ou seja,
é ímpar). Seja
, então
para todo
(ou seja,
é par).
Considere o integrando
. Vou mostrar que essa função é ímpar:
Portanto, a função
satisfaz
, isto é, é ímpar.
Sabemos que a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico
é zero. Para confirmar de forma operacional, faça a mudança de variável
em
:
Da igualdade
segue
. Logo
para todo
. Concluímos que qualquer
ímpar pertence a
.
Assim, temos a inclusão
Passo 4
Mostrar a inclusão reversa: toda função em
é ímpar.
Seja
. Isso significa que
para todo
(para todo
par e contínua).
Agora, para qualquer função contínua arbitrária
, construa a função
Note que
é contínua e
, portanto
(ou seja,
é par). Como
, temos
Passo 5
Transformar a integral e obter uma igualdade útil.
Separe a integral em duas parcelas:
Na segunda integral, faça a mudança de variável
. Então
Renomeando
de volta para
, obtemos
para todo
contínua arbitrária.
Passo 6
Concluir que
é a função nula, usando um teste conveniente.
A igualdade
vale para todo
contínua. Em particular, podemos escolher
igual à própria função
, que é contínua (soma de contínuas). Substituindo
obtemos
Como a função
é contínua e não-negativa, a integral só pode ser zero se
para todo
. Portanto
para todo
. Ou seja,
Isto mostra que
é ímpar.
Portanto toda função em
é ímpar, o que dá a inclusão inversa
Passo 7
Juntando as duas inclusões, concluímos a igualdade dos conjuntos: o complemento ortogonal de
é exatamente o conjunto das funções ímpares contínuas em
. Em palavras leves: as pares e as ímpares são ortogonais entre si no produto interno por integral simétrica, e não sobra mais nada.