Questão 8. Considere
\mathbb{V}={f:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R} ; f \text { é contínua }}éí
munido com as operações de soma e produto por escalar usuais. Defina
\langle f, g\rangle=\int_{-1}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x
Seja \mathbb{W}={f \in \mathbb{V} ; f(x)=f(-x), \forall x \in[-1,1]}. Determine \mathbb{W}^{\perp}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta.
  • Espaço: \mathbb{V}=\{f:[-1,1]\to\mathbb{R}\;;\;f\\ \text{é contínua}\}éí com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar.
  • Produto interno: \langle f,g\rangle=\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)g(x)\, \mathrm{d}x.
  • Subespaço \mathbb{W}=\{f\in\mathbb{V}\;;\;f(x)=f(-x),\\ \forall x\in[-1,1]\}. Ou seja, \mathbb{W} é o conjunto das funções pares (even).
  • Pedido: determinar \mathbb{W}^{\perp}, o complemento ortogonal de \mathbb{W}; isto é, o conjunto de todas as funções em \mathbb{V} ortogonais a toda função de \mathbb{W}.

Passo 2

Estratégia que vou usar (sem resolver ainda): mostrar duas inclusões para identificar \mathbb{W}^{\perp}.
  1. Mostrar que toda função ímpar pertence a \mathbb{W}^{\perp}.
  2. Mostrar que toda função em \mathbb{W}^{\perp} é necessariamente ímpar.
Se eu conseguir as duas inclusões, concluo que \mathbb{W}^{\perp} é exatamente o conjunto das funções ímpares. Agora vamos executar isso passo a passo.

Passo 3

Mostrar que qualquer função ímpar é ortogonal a toda função par (primeira inclusão).
Seja f\in\mathbb{V} tal que f(x)=-f(-x) para todo x (ou seja, f é ímpar). Seja g\in\mathbb{W}, então g(x)=g(-x) para todo x (ou seja, g é par).
Considere o integrando f(x)g(x). Vou mostrar que essa função é ímpar:
\text{Para todo }x,\quad f(-x)g(-x)=(-f(x))\cdot g(x)=-f(x)g(x).
Portanto, a função x\mapsto f(x)g(x) satisfaz (f g)(-x)=-(f g)(x), isto é, é ímpar.
Sabemos que a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico [-1,1] é zero. Para confirmar de forma operacional, faça a mudança de variável u=-x em \displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x:
\int_{-1}^{1} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x = -\int_{1}^{-1} f(-u)g(-u)\,\mathrm{d}u = \int_{-1}^{1} f(-u)g(-u)\,\mathrm{d}u = -\int_{-1}^{1} f(u)g(u)\,\mathrm{d}u.
Da igualdade \displaystyle I = -I segue I=0. Logo \langle f,g\rangle=0 para todo g\in\mathbb{W}. Concluímos que qualquer f ímpar pertence a \mathbb{W}^{\perp}.
Assim, temos a inclusão
\{\,f\in\mathbb{V} \mid f(x)=-f(-x)\\ \forall x\,\}\subseteq \mathbb{W}^{\perp}.

Passo 4

Mostrar a inclusão reversa: toda função em \mathbb{W}^{\perp} é ímpar.
Seja f\in\mathbb{W}^{\perp}. Isso significa que \langle f,g\rangle=0 para todo g\in\mathbb{W} (para todo g par e contínua).
Agora, para qualquer função contínua arbitrária h\in\mathbb{V}, construa a função
g(x)=h(x)+h(-x).
Note que g é contínua e g(-x)=h(-x)+h(x)=g(x), portanto g\in\mathbb{W} (ou seja, g é par). Como f\in\mathbb{W}^{\perp}, temos
0=\langle f,g\rangle=\int_{-1}^{1} f(x)\bigl(h(x)+h(-x)\bigr)\,\mathrm{d}x.

Passo 5

Transformar a integral e obter uma igualdade útil.
Separe a integral em duas parcelas:
0=\int_{-1}^{1} f(x)h(x)\,\mathrm{d}x + \int_{-1}^{1} f(x)h(-x)\,\mathrm{d}x.
Na segunda integral, faça a mudança de variável u=-x. Então
\int_{-1}^{1} f(x)h(-x)\,\mathrm{d}x = \int_{-1}^{1} f(-u) h(u)\,\mathrm{d}u.
Renomeando u de volta para x, obtemos
0=\int_{-1}^{1} \bigl(f(x)+f(-x)\bigr) h(x)\,\mathrm{d}x,
para todo h\in\mathbb{V} contínua arbitrária.

Passo 6

Concluir que f(x)+f(-x) é a função nula, usando um teste conveniente.
A igualdade
\int_{-1}^{1} \bigl(f(x)+f(-x)\bigr) h(x)\,\mathrm{d}x = 0
vale para todo h contínua. Em particular, podemos escolher h igual à própria função \varphi(x):=f(x)+f(-x), que é contínua (soma de contínuas). Substituindo h=\varphi obtemos
0=\int_{-1}^{1} \varphi(x)\,\varphi(x)\,\mathrm{d}x = \int_{-1}^{1} \bigl(\varphi(x)\bigr)^2\,\mathrm{d}x.
Como a função \bigl(\varphi(x)\bigr)^2 é contínua e não-negativa, a integral só pode ser zero se \varphi(x)^2=0 para todo x. Portanto \varphi(x)=0 para todo x\in[-1,1]. Ou seja,
f(x)+f(-x)=0,\qquad \forall x\in[-1,1].
Isto mostra que f é ímpar.
Portanto toda função em \mathbb{W}^{\perp} é ímpar, o que dá a inclusão inversa
\mathbb{W}^{\perp}\subseteq\{\,f\in\mathbb{V} \mid f(x)=-f(-x)\\ \forall x\,\}.

Passo 7

Juntando as duas inclusões, concluímos a igualdade dos conjuntos: o complemento ortogonal de \mathbb{W} é exatamente o conjunto das funções ímpares contínuas em [-1,1]. Em palavras leves: as pares e as ímpares são ortogonais entre si no produto interno por integral simétrica, e não sobra mais nada.

Resposta

\displaystyle \mathbb{W}^{\perp}=\{\,f\in\mathbb{V}\mid f(x)=-f(-x),\\ \forall x\in[-1,1]\,\}

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