Questão 10. A série \sum_{n=1}^{+\infty} \sin \left(\frac{1}{n}\right) é convergente ou divergente? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado apresenta a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \sin\!\left(\frac{1}{n}\right)
e pede para decidir se essa série é convergente ou divergente. Informações relevantes que o enunciado dá:
  • Os termos da série são a_n=\sin\!\left(\frac{1}{n}\right).
  • Para todo n\ge 1 tem-se \frac{1}{n}\in(0,1], logo a_n>0 para todo n.
  • Não há outra condição explícita além da definição dos termos.

Passo 2

Escolha do método: é natural comparar a_n=\sin\!\left(\frac{1}{n}\right) com a sequência \frac{1}{n}, porque para x pequeno vale \sin x\approx x. Vou usar o teste da comparação por limite (limit comparison test) com a série harmônica \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}, que é um teste simples e direto neste caso. Esse método é básico e suficiente aqui.

Passo 3

Explicação didática do teste que vou usar (teste da comparação por limite):
  • Seja (a_n) e (b_n) duas sequências com a_n\ge 0 e b_n>0 para n suficientemente grande. Se existir o limite L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}e 0< L<+\infty, então as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ambas convergem ou ambas divergem.
  • Intuição: se a_n/b_n tende a uma constante positiva, então para n grande a_n e b_n são proporcionais, então somas têm soma finita ou infinita juntas.
  • Vou aplicar isso com a_n=\sin\!\left(\frac{1}{n}\right) e b_n=\frac{1}{n}. Sabendo que a série harmônica \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}diverge, se eu mostrar que \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=L com 0< L<+\infty, concluo que a série dada diverge também.

Passo 4

Calcular o limite necessário e justificar por que vale 1:
  • Considere a função \sin x. É um fato clássico (e elementar) que \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.Uma demonstração curta dessa afirmação usa a desigualdade geométrica para 0<x<\tfrac{\pi}{2}: \cos x < \frac{\sin x}{x} < 1.Essa desigualdade é obtida a partir de \sin x < x < \tan x dividindo por \sin x e invertendo limites quando necessário. Como \lim_{x\to 0}\cos x=1, pelo princípio do sanduíche (squeeze theorem) obtemos \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1.
  • Agora faça a substituição x=\dfrac{1}{n}. Como x\to 0 quando n\to\infty, segue que \lim_{n\to\infty}\frac{\sin\!\left(\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}=1.Ou seja, o limite L do teste da comparação por limite existe e vale 1, que é um número positivo e finito.

Passo 5

Aplicar o teste da comparação por limite e concluir:
  • Tomando a_n=\sin\!\left(\frac{1}{n}\right) e b_n=\frac{1}{n}, encontramos \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1\in(0,+\infty).
  • Como a série harmônica \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n} diverge, pelo teste da comparação por limite a série \sum_{n=1}^{+\infty}\sin\!\left(\frac{1}{n}\right) também diverge.
  • Observação didática: embora a_n\to 0 (condição necessária para convergência), isso não garante convergência da série; aqui os termos vão para zero muito lentamente, na mesma ordem de 1/n, o que provoca a divergência.

Resposta

A série é divergente.

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