Questão 10. A série
é convergente ou divergente? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado apresenta a série
e pede para decidir se essa série é convergente ou divergente. Informações relevantes que o enunciado dá:
- Os termos da série são
. - Para todo
tem-se , logo para todo . - Não há outra condição explícita além da definição dos termos.
Passo 2
Escolha do método: é natural comparar
com a sequência
, porque para
pequeno vale
. Vou usar o teste da comparação por limite (limit comparison test) com a série harmônica
, que é um teste simples e direto neste caso. Esse método é básico e suficiente aqui.
Passo 3
Explicação didática do teste que vou usar (teste da comparação por limite):
- Seja
e duas sequências com e para suficientemente grande. Se existir o limite e , então as séries e têm o mesmo comportamento: ambas convergem ou ambas divergem. - Intuição: se
tende a uma constante positiva, então para grande e são proporcionais, então somas têm soma finita ou infinita juntas. - Vou aplicar isso com
e . Sabendo que a série harmônica diverge, se eu mostrar que com , concluo que a série dada diverge também.
Passo 4
Calcular o limite necessário e justificar por que vale 1:
- Considere a função
. É um fato clássico (e elementar) que Uma demonstração curta dessa afirmação usa a desigualdade geométrica para : Essa desigualdade é obtida a partir de dividindo por e invertendo limites quando necessário. Como , pelo princípio do sanduíche (squeeze theorem) obtemos . - Agora faça a substituição
. Como quando , segue que Ou seja, o limite do teste da comparação por limite existe e vale , que é um número positivo e finito.
Passo 5
Aplicar o teste da comparação por limite e concluir:
- Tomando
e , encontramos - Como a série harmônica
diverge, pelo teste da comparação por limite a série também diverge. - Observação didática: embora
(condição necessária para convergência), isso não garante convergência da série; aqui os termos vão para zero muito lentamente, na mesma ordem de , o que provoca a divergência.
Resposta
A série é divergente.