Questão 12. Determine uma série de potências para a função
e uma para a função
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar uma série de potências para
. - Determinar uma série de potências para
.
Informações dadas explicitamente:
- As funções estão centradas naturalmente em
(séries de Maclaurin são apropriadas). - Não há outras restrições dadas no enunciado.
Passo 2
Estratégia básica que vamos usar (sem resolver ainda): transformar
em uma integral de uma função cuja série conhecemos e integrar termo a termo. A ferramenta que usamos é a série geométrica e a possibilidade de integrar séries de potências termo a termo dentro do raio de convergência.
Lembrando a fórmula da série geométrica: para uma variável
com
,
Aqui cada símbolo significa:
-
é a variável da série geométrica (qualquer expressão que satisfaça ); -
é o índice da soma, variando de até infinito; - o somatório representa uma soma infinita de potências de
.
Passo 3
Aplicar a série geométrica a
. Tome
. Como
quando
, temos para
:
Explicando: foi feita a substituição
na série geométrica; o termo geral fica
.
Passo 4
Usar a representação por integral de
. Sabendo que
, podemos escrever
onde
é a variável de integração. Essa expressão é verdadeira para todo
, mas a troca de integral por soma exige trabalhar para
e depois considerar extensão por continuidade nos pontos limites.
Passo 5
Integrar a série obtida em Passo 3 termo a termo (válido para
). Substituindo
na integral,
Integrando termo a termo (justificação: uniformemente convergente em qualquer intervalo
com
), obtemos
Passo 6
Interpretando o resultado: a série de potências (série de Maclaurin) para
é
para
. Escrevendo os primeiros termos para ver a forma:
Passo 7
Determinar o raio e o intervalo de convergência para
. A série da Passo 6 vem da série geométrica com substituição
, cujo raio é
. Assim o raio de convergência é
.
Verificar convergência nos extremos
:
- Para
a série torna-se , que converge por critério da série alternada (os termos são positivos, decrescentes e tendem a ). O valor é . - Para
a série torna-se , que também converge e vale .
Portanto a série converge para
(convergência condicional nos extremos
).
Passo 8
Agora obter a série para
. Primeiro escrevemos a série de
e fazemos a substituição
:
válida para
, ou seja
. Multiplicando por
,
Passo 9
Analisar convergência da série de
. A condição
surge da substituição
. Nos extremos
temos
e a série de
converge (alternada), portanto:
- Para
a série de converge para . - Para
a série de converge para .
Logo a série de
converge também para
(convergência condicional nos extremos).
Passo 10
Resumo prático (formas úteis para decorar e usar na prova):
- Forma em somatório para
:
- Forma em somatório para
: