Questão 12. Determine uma série de potências para a função f(x)=\arctan (x) e uma para a função g(x)=x \arctan \left(x^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar uma série de potências para f(x)=\arctan(x).
  • Determinar uma série de potências para g(x)=x\arctan\!\left(x^{2}\right).
Informações dadas explicitamente:
  • As funções estão centradas naturalmente em 0 (séries de Maclaurin são apropriadas).
  • Não há outras restrições dadas no enunciado.

Passo 2

Estratégia básica que vamos usar (sem resolver ainda): transformar \arctan(x) em uma integral de uma função cuja série conhecemos e integrar termo a termo. A ferramenta que usamos é a série geométrica e a possibilidade de integrar séries de potências termo a termo dentro do raio de convergência.
Lembrando a fórmula da série geométrica: para uma variável u com |u|<1,
\frac{1}{1-u}=\sum_{n=0}^{\infty}u^{n}.
Aqui cada símbolo significa:
  • u é a variável da série geométrica (qualquer expressão que satisfaça |u|<1);
  • n é o índice da soma, variando de 0 até infinito;
  • o somatório representa uma soma infinita de potências de u.

Passo 3

Aplicar a série geométrica a \dfrac{1}{1+t^{2}}. Tome u=-t^{2}. Como |u|=|t|^{2}<1 quando |t|<1, temos para |t|<1:
\frac{1}{1+t^{2}}=\frac{1}{1-(-t^{2})}=\sum_{n=0}^{\infty}(-t^{2})^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}t^{2n}.
Explicando: foi feita a substituição u=-t^{2} na série geométrica; o termo geral fica (-1)^{n}t^{2n}.

Passo 4

Usar a representação por integral de \arctan(x). Sabendo que \dfrac{d}{dx}\big(\arctan(x)\big)=\dfrac{1}{1+x^{2}}, podemos escrever
\arctan(x)=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt,
onde t é a variável de integração. Essa expressão é verdadeira para todo x, mas a troca de integral por soma exige trabalhar para |t|<1 e depois considerar extensão por continuidade nos pontos limites.

Passo 5

Integrar a série obtida em Passo 3 termo a termo (válido para |x|<1). Substituindo \dfrac{1}{1+t^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}t^{2n} na integral,
\arctan(x)=\int_{0}^{x}\left(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}t^{2n}\right)\,dt.
Integrando termo a termo (justificação: uniformemente convergente em qualquer intervalo [-a,a] com 0<a<1), obtemos
\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\int_{0}^{x}t^{2n}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left[\frac{t^{2n+1}}{2n+1}\right]_{0}^{x} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.

Passo 6

Interpretando o resultado: a série de potências (série de Maclaurin) para \arctan(x) é
\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}
para |x|<1. Escrevendo os primeiros termos para ver a forma:
\arctan(x)=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{7}}{7}+\cdots.

Passo 7

Determinar o raio e o intervalo de convergência para \arctan(x). A série da Passo 6 vem da série geométrica com substituição u=-x^{2}, cujo raio é |x^{2}|<1\Rightarrow |x|<1. Assim o raio de convergência é 1.
Verificar convergência nos extremos x=\pm1:
  • Para x=1 a série torna-se \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\dfrac{1}{2n+1}, que converge por critério da série alternada (os termos 1/(2n+1) são positivos, decrescentes e tendem a 0). O valor é \arctan(1)=\pi/4.
  • Para x=-1 a série torna-se \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\dfrac{(-1)^{2n+1}}{2n+1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\dfrac{-1}{2n+1}=-\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\dfrac{1}{2n+1}, que também converge e vale \arctan(-1)=-\pi/4.
Portanto a série converge para |x|\le 1 (convergência condicional nos extremos x=\pm1).

Passo 8

Agora obter a série para g(x)=x\arctan\!\left(x^{2}\right). Primeiro escrevemos a série de \arctan(y) e fazemos a substituição y=x^{2}:
\arctan\!\left(x^{2}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(x^{2})^{2n+1}}{2n+1} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{4n+2}}{2n+1},
válida para |x^{2}|<1, ou seja |x|<1. Multiplicando por x,
g(x)=x\arctan\!\left(x^{2}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{4n+3}}{2n+1}.

Passo 9

Analisar convergência da série de g. A condição |x|<1 surge da substituição y=x^{2}. Nos extremos x=\pm1 temos y=1 e a série de \arctan(1) converge (alternada), portanto:
  • Para x=1 a série de g converge para 1\cdot\arctan(1)=\pi/4.
  • Para x=-1 a série de g converge para -1\cdot\arctan(1)=-\pi/4.
Logo a série de g converge também para |x|\le 1 (convergência condicional nos extremos).

Passo 10

Resumo prático (formas úteis para decorar e usar na prova):
  • Forma em somatório para \arctan(x):
\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\cdots,\qquad |x|\le 1.
  • Forma em somatório para g(x)=x\arctan\!\left(x^{2}\right):
x\arctan\!\left(x^{2}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{4n+3}}{2n+1}=x^{3}-\frac{x^{7}}{3}+\frac{x^{11}}{5}-\cdots,\qquad |x|\le 1.

Resposta

\displaystyle \arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\cdots\
\displaystyle x\arctan\!\left(x^{2}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{4n+3}}{2n+1}=x^{3}-\frac{x^{7}}{3}+\frac{x^{11}}{5}-\cdots

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