Questão 11. Determinie a série de Maclurin das funções f(x)=e^{x} e g(x)=x^{2} e^{-x}. Determine uma série numérica que seja convergente para o número \frac{1}{e}.
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
Determinar a série de Maclaurin da função f(x)=e^{x}.
Determinar a série de Maclaurin da função g(x)=x^{2}e^{-x}.
Fornecer uma série numérica que seja convergente para o número \dfrac{1}{e}.
Informações dadas (explícitas ou implícitas) que vamos usar:
As funções são f(x)=e^{x} e g(x)=x^{2}e^{-x}.
Uma série de Maclaurin é a expansão em série de potências centrada em 0.
Nada mais foi fornecido; tudo que precisamos vem do processo padrão de Taylor/Maclaurin.
Passo 2
Vou lembrar a definição prática de série de Maclaurin (aí você já aprende o macete para a prova).
A série de Maclaurin de uma função h(x) é a série de Taylor centrada em 0, dada por
onde h^{(n)}(0) é a n-ésima derivada de h avaliada em 0.
Explicando com calma: para cada n,
h^{(n)}(0) significa "derivar hn vezes e depois substituir x=0";
dividir por n! ajusta a contribuição daquela derivada na expansão em potências;
multiplicar por x^{n} dá o termo da ordem n.
Na prática, para achar a série de Maclaurin de uma função, calcula-se as derivadas em 0 e coloca-se na fórmula acima. Para funções com derivadas fáceis (como exponencial), o padrão aparece rápido.
Passo 3
Aplicando a fórmula a f(x)=e^{x}.
Primeiro fato importante (que é o grande atalho): todas as derivadas de e^{x} são iguais a e^{x}. Ou seja,
f^{(n)}(x)=e^{x}\quad\text{para todo }n\ge0.
Avaliando em 0 obtemos
f^{(n)}(0)=e^{0}=1\quad\text{para todo }n\ge0.
Substituindo na fórmula da Maclaurin:
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\,x^{n}.
Escrevendo os primeiros termos para ganhar intuição:
para todo x. Como o limite é 0<1 para todo x, a série converge para todo x (raio de convergência infinito). Isso justifica que a série vale e^{x} para qualquer x.
Passo 4
Agora g(x)=x^{2}e^{-x}. Vou usar o resultado já obtido para e^{x} e fazer duas coisas: trocar x por -x (para ter e^{-x}) e multiplicar por x^{2}.
Primeiro, a série de e^{-x} obtém-se trocando x por -x em \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n!}:
(escrevendo termo a termo: multiplicando x^2 por 1, -x, x^2/2!, -x^3/3!,\ldots).
Sobre convergência: como e^{-x} tem série de raio infinito, multiplicar por x^{2} não reduz o raio de convergência (a série resultante também converge para todo x). Portanto a expansão acima vale para todo x.
Passo 5
Agora achar uma série numérica que converge para \dfrac{1}{e}.
O passo natural é usar a série de e^{x} e avaliar em x=-1. Como a série de e^{x} converge para todo x, é permitido substituir x=-1. Substituindo em
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!},
obtemos
e^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}.
Portanto uma série numérica que converge para \dfrac{1}{e} é
Justificativa de convergência e do valor: a série converge absolutamente porque \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!} converge (é a série de e). Logo a soma alternada acima converge e, por ter sido obtida pela substituição x=-1 numa série de termo geral contínuo e de raio infinito, a soma é exatamente e^{-1}=\dfrac{1}{e}.
Passo 6
Resumo prático e dica para a prova (curto e útil):
Maclaurin de e^{x}: memorize \displaystyle e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n!}. É uma das séries mais usadas.
Para x^{2}e^{-x}: multiplique por x^{2} a série de e^{-x} e reindexe quando quiser a forma com potências x^{m}.
Para obter valores numéricos simples como 1/e, basta avaliar a série de e^{x} em x=-1. Isso dá uma série numérica prática com convergência muito rápida (os termos caem como 1/n!).