Questão 11. Determinie a série de Maclurin das funções f(x)=e^{x} e g(x)=x^{2} e^{-x}. Determine uma série numérica que seja convergente para o número \frac{1}{e}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  • Determinar a série de Maclaurin da função f(x)=e^{x}.
  • Determinar a série de Maclaurin da função g(x)=x^{2}e^{-x}.
  • Fornecer uma série numérica que seja convergente para o número \dfrac{1}{e}.
Informações dadas (explícitas ou implícitas) que vamos usar:
  • As funções são f(x)=e^{x} e g(x)=x^{2}e^{-x}.
  • Uma série de Maclaurin é a expansão em série de potências centrada em 0.
    Nada mais foi fornecido; tudo que precisamos vem do processo padrão de Taylor/Maclaurin.

Passo 2

Vou lembrar a definição prática de série de Maclaurin (aí você já aprende o macete para a prova).
A série de Maclaurin de uma função h(x) é a série de Taylor centrada em 0, dada por
h(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{h^{(n)}(0)}{n!}\,x^{n},
onde h^{(n)}(0) é a n-ésima derivada de h avaliada em 0.
Explicando com calma: para cada n,
  • h^{(n)}(0) significa "derivar h n vezes e depois substituir x=0";
  • dividir por n! ajusta a contribuição daquela derivada na expansão em potências;
  • multiplicar por x^{n} dá o termo da ordem n.
Na prática, para achar a série de Maclaurin de uma função, calcula-se as derivadas em 0 e coloca-se na fórmula acima. Para funções com derivadas fáceis (como exponencial), o padrão aparece rápido.

Passo 3

Aplicando a fórmula a f(x)=e^{x}.
  1. Primeiro fato importante (que é o grande atalho): todas as derivadas de e^{x} são iguais a e^{x}. Ou seja,
f^{(n)}(x)=e^{x}\quad\text{para todo }n\ge0.
  1. Avaliando em 0 obtemos
f^{(n)}(0)=e^{0}=1\quad\text{para todo }n\ge0.
  1. Substituindo na fórmula da Maclaurin:
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\,x^{n}.
  1. Escrevendo os primeiros termos para ganhar intuição:
e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+\cdots
  1. Sobre convergência: usando o teste da razão para os coeficientes a_{n}=\dfrac{1}{n!}, temos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_{n}x^{n}}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{|x|}{n+1}=0,
para todo x. Como o limite é 0<1 para todo x, a série converge para todo x (raio de convergência infinito). Isso justifica que a série vale e^{x} para qualquer x.

Passo 4

Agora g(x)=x^{2}e^{-x}. Vou usar o resultado já obtido para e^{x} e fazer duas coisas: trocar x por -x (para ter e^{-x}) e multiplicar por x^{2}.
  1. Primeiro, a série de e^{-x} obtém-se trocando x por -x em \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n!}:
e^{-x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-x)^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}\,x^{n}.
  1. Multiplicando por x^{2}:
x^{2}e^{-x}=x^{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}\,x^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}\,x^{n+2}.
  1. Para escrever a série como soma de potências x^{m} com índice direto m, reindexamos: ponha m=n+2. Então n=m-2 e, quando n=0 temos m=2. Assim
x^{2}e^{-x}=\sum_{m=2}^{\infty}\frac{(-1)^{m-2}}{(m-2)!}\,x^{m}.
  1. Escrevendo os primeiros termos (usando a forma antes da reindexação é mais direto):
x^{2}e^{-x}=x^{2}-x^{3}+\frac{x^{4}}{2!}-\frac{x^{5}}{3!}+\frac{x^{6}}{4!}-\cdots
(escrevendo termo a termo: multiplicando x^2 por 1, -x, x^2/2!, -x^3/3!,\ldots).
  1. Sobre convergência: como e^{-x} tem série de raio infinito, multiplicar por x^{2} não reduz o raio de convergência (a série resultante também converge para todo x). Portanto a expansão acima vale para todo x.

Passo 5

Agora achar uma série numérica que converge para \dfrac{1}{e}.
O passo natural é usar a série de e^{x} e avaliar em x=-1. Como a série de e^{x} converge para todo x, é permitido substituir x=-1. Substituindo em
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!},
obtemos
e^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}.
Portanto uma série numérica que converge para \dfrac{1}{e} é
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}=1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\cdots
Justificativa de convergência e do valor: a série converge absolutamente porque \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!} converge (é a série de e). Logo a soma alternada acima converge e, por ter sido obtida pela substituição x=-1 numa série de termo geral contínuo e de raio infinito, a soma é exatamente e^{-1}=\dfrac{1}{e}.

Passo 6

Resumo prático e dica para a prova (curto e útil):
  • Maclaurin de e^{x}: memorize \displaystyle e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n!}. É uma das séries mais usadas.
  • Para x^{2}e^{-x}: multiplique por x^{2} a série de e^{-x} e reindexe quando quiser a forma com potências x^{m}.
  • Para obter valores numéricos simples como 1/e, basta avaliar a série de e^{x} em x=-1. Isso dá uma série numérica prática com convergência muito rápida (os termos caem como 1/n!).

Resposta

e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots
x^{2}e^{-x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}\,x^{n+2}=\sum_{m=2}^{\infty}\frac{(-1)^{m-2}}{(m-2)!}\,x^{m}=x^{2}-x^{3}+\frac{x^{4}}{2!}-\frac{x^{5}}{3!}+\cdots
\frac{1}{e}=e^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}=1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots

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