Questão 4. Mostre que a série \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{n}}{n!} converge, independentemente do valor de x \in \mathbb{R} e calcule o limite \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{2^{n}}{n!}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Mostrar que a série \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{n}}{n!} converge para todo x\in\mathbb{R}.
  • Calcular \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{2^{n}}{n!}.
Informações dadas:
  • A sequência dos termos da série é a_n=\dfrac{x^{n}}{n!}.
  • O parâmetro x é um número real arbitrário.

Passo 2

Vou usar um critério simples e poderoso para séries: o teste da razão (teste de d’Alembert). Vou explicar ele com calma.
O teste da razão diz o seguinte. Seja (a_n) uma sequência com a_n\neq 0. Defina
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
  • Se L<1, então a série \displaystyle\sum a_n converge absolutamente (e, portanto, converge).
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
“Converge absolutamente” significa que a série dos valores absolutos \displaystyle\sum |a_n| converge; isso é mais forte do que convergência simples e garante convergência da série original.
Agora aplico o teste da razão aos termos a_n=\dfrac{x^n}{n!}. Calculo a razão entre termos consecutivos (em valor absoluto):
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\frac{x^{\,n+1}/(n+1)!}{x^{n}/n!}\right| = \left|\frac{x}{n+1}\right| =\frac{|x|}{n+1}.
Tomando o limite quando n\to\infty obtém-se
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{|x|}{n+1}=0.
Como 0<1, pelo teste da razão a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} converge absolutamente para qualquer x\in\mathbb{R}. Isso resolve a primeira parte.
Comentário didático rápido: a razão deu \dfrac{|x|}{n+1} que tende a zero porque n! cresce muito mais rápido que qualquer potência x^n. O teste da razão capta exatamente essa diferença de crescimento.

Passo 3

Uma consequência útil: se a série \sum a_n converge então necessariamente a_n\to 0. Aplicando isso ao caso x=2 (ou qualquer x fixo), obtemos imediatamente que
\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n}}{n!}=0.
Vou também dar uma demonstração direta e elementar desse limite (sem depender do fato de que a série converge), usando uma desigualdade simples — isso ajuda a entender por que o fatorial vence a potência.

Passo 4

Prova direta do limite \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n}}{n!}=0 por comparação geométrica.
Para n\ge 4 temos
n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdots n \ge 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5^{\,n-4} = 4!\cdot 5^{\,n-4},
pois cada fator a partir de 5 vale pelo menos 5. Assim, para n\ge 4,
\frac{2^{n}}{n!}\le \frac{2^{n}}{4!\,5^{\,n-4}}.
Reorganizando os fatores:
\frac{2^{n}}{4!\,5^{\,n-4}} = \frac{2^{4}}{4!}\cdot\left(\frac{2}{5}\right)^{n-4}.
Chame C=\dfrac{2^{4}}{4!}=\dfrac{16}{24}=\dfrac{2}{3}. Então, para n\ge 4,
0\le \frac{2^{n}}{n!}\le C\left(\frac{2}{5}\right)^{n-4}.
Como 0<\dfrac{2}{5}<1, o termo direito é uma sequência geométrica que tende a 0 quando n\to\infty. Pelo princípio da comparação, a sequência \dfrac{2^{n}}{n!} também tende a 0. Logo
\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n}}{n!}=0.

Passo 5

Observação final (útil para a prova e para o entendimento): o argumento da Passo 4 pode ser generalizado: para qualquer x\in\mathbb{R} fixo, tomando um inteiro m tal que m>|x| e usando a mesma ideia (cada fator em n! a partir de m é pelo menos m), obtém-se uma desigualdade que mostra
\lim_{n\to\infty}\frac{|x|^{n}}{n!}=0.
Isso é coerente com a convergência absoluta da série e com o fato de que os termos do somatório precisam tender a zero.
Força aí — a parte essencial é entender que n! cresce muito mais rápido que x^n, e o teste da razão mostra isso de forma direta.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{n}}{n!} converge para todo x\in\mathbb{R}.
\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n}}{n!}=0

Exercícios relacionados