Questão 4. Mostre que a série \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{n}}{n!} converge, independentemente do valor de x \in \mathbb{R} e calcule o limite \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{2^{n}}{n!}.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Mostrar que a série \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{n}}{n!} converge para todo x\in\mathbb{R}.
Se L<1, então a série \displaystyle\sum a_n converge absolutamente (e, portanto, converge).
Se L>1, a série diverge.
Se L=1, o teste é inconclusivo.
“Converge absolutamente” significa que a série dos valores absolutos \displaystyle\sum |a_n| converge; isso é mais forte do que convergência simples e garante convergência da série original.
Agora aplico o teste da razão aos termos a_n=\dfrac{x^n}{n!}. Calculo a razão entre termos consecutivos (em valor absoluto):
Como 0<1, pelo teste da razão a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} converge absolutamente para qualquer x\in\mathbb{R}. Isso resolve a primeira parte.
Comentário didático rápido: a razão deu \dfrac{|x|}{n+1} que tende a zero porque n! cresce muito mais rápido que qualquer potência x^n. O teste da razão capta exatamente essa diferença de crescimento.
Passo 3
Uma consequência útil: se a série \sum a_n converge então necessariamente a_n\to 0. Aplicando isso ao caso x=2 (ou qualquer x fixo), obtemos imediatamente que
\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n}}{n!}=0.
Vou também dar uma demonstração direta e elementar desse limite (sem depender do fato de que a série converge), usando uma desigualdade simples — isso ajuda a entender por que o fatorial vence a potência.
Passo 4
Prova direta do limite \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n}}{n!}=0 por comparação geométrica.
Como 0<\dfrac{2}{5}<1, o termo direito é uma sequência geométrica que tende a 0 quando n\to\infty. Pelo princípio da comparação, a sequência \dfrac{2^{n}}{n!} também tende a 0. Logo
\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n}}{n!}=0.
Passo 5
Observação final (útil para a prova e para o entendimento): o argumento da Passo 4 pode ser generalizado: para qualquer x\in\mathbb{R} fixo, tomando um inteiro m tal que m>|x| e usando a mesma ideia (cada fator em n! a partir de m é pelo menos m), obtém-se uma desigualdade que mostra
\lim_{n\to\infty}\frac{|x|^{n}}{n!}=0.
Isso é coerente com a convergência absoluta da série e com o fato de que os termos do somatório precisam tender a zero.
Força aí — a parte essencial é entender que n! cresce muito mais rápido que x^n, e o teste da razão mostra isso de forma direta.
Resposta
A série \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{n}}{n!} converge para todo x\in\mathbb{R}. \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n}}{n!}=0