Questão 01. Certa manhã, um trem viajou de Quilino a Totoralejos a velocidade constante saiu às 6:00 horas e chegou às 9:30 horas, e outro trem que viajou de Totoralejos a Quilino, também a velocidade constante, saiu às 8:00 horas e chegou às 9:30 horas. A que horas se cruzaram os trens?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede: a que hora se cruzaram os dois trens?
Informações dadas (todas relevantes):
Informações dadas (todas relevantes):
- Trem A partiu de Quilino às
e chegou a Totoralejos às . - Trem B partiu de Totoralejos às
e chegou a Quilino às . - Ambos têm velocidade constante.
- Queremos o instante do cruzamento (hora e minuto).
Passo 2
Vamos representar as quantidades com variáveis e usar a relação fundamental do movimento uniforme: distância = velocidade
tempo.
Defina:
Defina:
-
= distância entre Quilino e Totoralejos (não precisamos do valor numérico). -
= velocidade do trem A (Quilino → Totoralejos). -
= velocidade do trem B (Totoralejos → Quilino). -
= tempo decorrido desde as até o momento do encontro, em horas. (Logo o encontro ocorre às .)
Observação: o trem B só sai às, que é horas depois de ; portanto, quando nos referirmos ao tempo que B viajou até o encontro, será (com ).
Passo 3
Calculemos as velocidades conhecidas em função de
.
Duração da viagem do trem A:
Logo
Duração da viagem do trem B:
Logo
Expliquei: dividir a distância total
pelo tempo total de viagem dá a velocidade constante.
Passo 4
Agora escrevemos a equação do encontro: a soma das distâncias percorridas por A e por B até o encontro é
.
Distância percorrida por A até o encontro: .
Distância percorrida por B até o encontro: (pois B só começou a andar quando
).
Portanto:
Distância percorrida por A até o encontro:
Distância percorrida por B até o encontro:
Portanto:
Dividindo ambos os lados por
(não nulo) simplificamos:
Passo 5
Resolvendo a equação passo a passo.
Multiplicamos por
(mmc de
e
) para eliminar denominadores:
Isto dá:
Expandindo:
Somando termos semelhantes:
Isolando
:
Passo 6
Convertemos
horas para horas e minutos. A parte inteira é
horas; a parte decimal
horas em minutos é
Portanto, o encontro ocorreu
horas e
minutos após as
, isto é às
.
Passo 7
Cheque rápido (método da velocidade relativa) só para confirmar: às
o trem A já andou
, resta
. As velocidades somadas (quando vêm um ao encontro do outro) são
. Tempo desde
até encontro:
ou seja, encontro às
, consistente com o passo anterior.
Resposta
c)