Questão 01. Certa manhã, um trem viajou de Quilino a Totoralejos a velocidade constante saiu às 6:00 horas e chegou às 9:30 horas, e outro trem que viajou de Totoralejos a Quilino, também a velocidade constante, saiu às 8:00 horas e chegou às 9:30 horas. A que horas se cruzaram os trens?
a) 8: 45 \mathrm{~h}
b) 8: 30 \mathrm{~h}
c) 8: 27 \mathrm{~h}
d) 8: 23 \mathrm{~h}
e) 8: 15 \mathrm{~h}

Passo 1

O enunciado pede: a que hora se cruzaram os dois trens?
Informações dadas (todas relevantes):
  • Trem A partiu de Quilino às 6{:}00 e chegou a Totoralejos às 9{:}30.
  • Trem B partiu de Totoralejos às 8{:}00 e chegou a Quilino às 9{:}30.
  • Ambos têm velocidade constante.
  • Queremos o instante do cruzamento (hora e minuto).

Passo 2

Vamos representar as quantidades com variáveis e usar a relação fundamental do movimento uniforme: distância = velocidade \times tempo.
Defina:
  • D = distância entre Quilino e Totoralejos (não precisamos do valor numérico).
  • v_1 = velocidade do trem A (Quilino → Totoralejos).
  • v_2 = velocidade do trem B (Totoralejos → Quilino).
  • t = tempo decorrido desde as 6{:}00 até o momento do encontro, em horas. (Logo o encontro ocorre às 6{:}00 + t.)
    Observação: o trem B só sai às 8{:}00, que é 2 horas depois de 6{:}00; portanto, quando nos referirmos ao tempo que B viajou até o encontro, será t-2 (com t\ge 2).

Passo 3

Calculemos as velocidades conhecidas em função de D.
Duração da viagem do trem A:
9{:}30 - 6{:}00 = 3\\ \text{h}\\\ 30\\ \text{min} = 3{,}5\\ \text{h} = \frac{7}{2}\\ \text{h}.
Logo
v_1=\frac{D}{3{,}5}=\frac{D}{7/2}=\frac{2D}{7}.
Duração da viagem do trem B:
9{:}30 - 8{:}00 = 1\\ \text{h}\\\ 30\\ \text{min} = 1{,}5\\ \text{h} = \frac{3}{2}\\ \text{h}.
Logo
v_2=\frac{D}{1{,}5}=\frac{D}{3/2}=\frac{2D}{3}.
Expliquei: dividir a distância total D pelo tempo total de viagem dá a velocidade constante.

Passo 4

Agora escrevemos a equação do encontro: a soma das distâncias percorridas por A e por B até o encontro é D.
Distância percorrida por A até o encontro: v_1 \cdot t.
Distância percorrida por B até o encontro: v_2 \cdot (t-2) (pois B só começou a andar quando t=2).
Portanto:
\frac{2D}{7}\,t + \frac{2D}{3}\,(t-2) = D.
Dividindo ambos os lados por D (não nulo) simplificamos:
\frac{2}{7}t + \frac{2}{3}(t-2) = 1.

Passo 5

Resolvendo a equação passo a passo.
Multiplicamos por 21 (mmc de 7 e 3) para eliminar denominadores:
21\left(\frac{2}{7}t + \frac{2}{3}(t-2)\right) = 21\cdot 1.
Isto dá:
6t + 14(t-2) = 21.
Expandindo:
6t + 14t - 28 = 21.
Somando termos semelhantes:
20t - 28 = 21.
Isolando t:
20t = 49 \quad\Rightarrow\quad t = \frac{49}{20} = 2{,}45\\ \text{horas}.

Passo 6

Convertemos t=2{,}45 horas para horas e minutos. A parte inteira é 2 horas; a parte decimal 0{,}45 horas em minutos é
0{,}45 \times 60 = 27\\ \text{min}.
Portanto, o encontro ocorreu 2 horas e 27 minutos após as 6{:}00, isto é às 6{:}00 + 2{:}27 = 8{:}27.

Passo 7

Cheque rápido (método da velocidade relativa) só para confirmar: às 8{:}00 o trem A já andou v_1\cdot 2 = \frac{2D}{7}\cdot 2=\frac{4D}{7}, resta D-\frac{4D}{7}=\frac{3D}{7}. As velocidades somadas (quando vêm um ao encontro do outro) são \frac{2D}{7}+\frac{2D}{3}=\frac{20D}{21}. Tempo desde 8{:}00 até encontro:
\frac{3D/7}{20D/21}=\frac{3}{7}\cdot\frac{21}{20}=\frac{9}{20}=0{,}45\\ \text{h}=27\\ \text{min},
ou seja, encontro às 8{:}00+0{:}27=8{:}27, consistente com o passo anterior.

Resposta

c) 8{:}27\\ \mathrm{h}

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