Uma reta passando por (1,1) corta o eixo dos x e em A=(a, 0) e o eixo dos y em B=(0, b). Determine o triângulo A O B de área mínima para a a e b positivos.

Passo 1

O enunciado dá uma reta que passa por (1,1) e intercepta o eixo x em A=(a,0) e o eixo y em B=(0,b), com a>0 e b>0. Queremos escolher a e b de modo que a área do triângulo AOB seja mínima. O conteúdo envolve forma intercepto de reta, expressão da área em função de um parâmetro e otimização por derivada.

Passo 2

Usamos a forma-intercepto da reta:
y=-ba,x+b
Como ela passa por (1,1), temos
1=-bacdot1+b Longrightarrow 1=bl(1-1ar) Longrightarrow b=aa-1
Repare que isso exige a>1 para garantir b>0.

Passo 3

A área do triângulo AOB é
A(a)=12;a,b =12;a;aa-1 =a^22(a-1)

Passo 4

Para minimizar A(a) em a>1, calculamos a derivada
A'(a) =12;dda!l(a^2a-1r) =12;a(a-2)(a-1)^2
O único ponto crítico em (1,infty) vem de a(a-2)=0, ou seja a=2.

Passo 5

Em a=2 obtemos
b=22-1=2,
e a área mínima
Amin =12cdot2cdot2=2

Resposta

O triângulo de área mínima ocorre para A=(2,0) e B=(0,2), com área mínima igual a 2.

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