Questão 10. [Valor: 0,2 ponto]
Obtenha uma equação geral do plano pi em cada caso:
(b) pi contém A(2,2,1) e B(0,1,-2) e é paralelo a C D, sendo C(1,2,1) e D(0,1,0);

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano pi que contém os pontos
A(2,2,1), B(0,1,-2)
e é paralelo à reta definida por
C(1,2,1), D(0,1,0)
Conteúdo: geometria vetorial em R^3. Para achar a equação de um plano usamos que, se n é um vetor normal ao plano e r0 é um ponto no plano, então
ncdot(r-r0)=0
é a equação desejada. Aqui vamos obter n como produto vetorial de dois vetores que estão no plano.

Passo 2

Como o plano contém A e B, um vetor diretor do plano é
AB=B-A=(0-2,;1-2,;-2-1)=(-2,,-1,,-3)
Como o plano é paralelo à reta CD, o vetor
CD=D-C=(0-1,;1-2,;0-1)=(-1,,-1,,-1)
também está paralelo (logo contido) ao plano.

Passo 3

O vetor normal n ao plano é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano, então podemos tomar
n=ABtimesCD
Calculando o produto vetorial:
n=(-2,-1,-3)times(-1,-1,-1) =(-2cdot(-1)-(-3)cdot(-1),; -[-2cdot(-1)-(-3)cdot(-1)],; -2cdot(-1)-(-1)cdot(-1))
n=(-2,;1,;1)

Passo 4

Escolhendo o ponto A(2,2,1) como r0 e n=(-2,1,1), a equação do plano fica
-2(x-2)+1(y-2)+1(z-1)=0
Desenvolvendo:
-2x+4+y-2+z-1=0 Longrightarrow -2x+y+z+1=0

Resposta

-2x+y+z+1=0

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