Questão 10. [Valor: 0,2 ponto]
Obtenha uma equação geral do plano pi em cada caso:
(d) pi contém A(0,3,2) e B(-1,2,3) e C(3,-2,2);

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano pi que passa pelos pontos
A(0,3,2), B(-1,2,3), C(3,-2,2)
O conteúdo envolve Geometria Analítica no espaço: para obter a equação geral
ax + by + cz + d = 0
precisamos achar um vetor normal n=(a,b,c). Vamos obter n a partir do produto vetorial de dois vetores diretores do plano.

Passo 2

Escolhemos os vetores
AB = B - A = (-1-0,;2-3,;3-2) = (-1,,-1,,1),
AC = C - A = (3-0,;-2-3,;2-2) = (3,,-5,,0)

Passo 3

O vetor normal ao plano é
n = ABtimes AC
Calculando pelo determinante:
n = i & j & k -1 & -1 & 1 3 & -5 & 0 = i,( -1cdot 0 - 1cdot(-5)) - j,( -1cdot 0 - 1cdot 3) + k,( -1cdot(-5) - (-1)cdot 3),
n = 5,i + 3,j + 8,k ;Longrightarrow; n = (5,,3,,8)

Passo 4

A equação do plano com normal n=(5,3,8) passando por A(0,3,2) é
5,(x-0) + 3,(y-3) + 8,(z-2) = 0
Expandindo,
5x + 3y - 9 + 8z - 16 = 0 ;Longrightarrow; 5x + 3y + 8z - 25 = 0

Resposta

A equação geral do plano é
5x + 3y + 8z - 25 = 0

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