Questão 10
As velocidades efetivas das moléculas de um gás, determinada por
, correspondem a valores da ordem de
e
. Com base nesta informação, uma objeção à Teoria Cinética é que misturas gasosas deveriam ser instantâneas, o que não ocorre na prática.
(a) Supondo que as moléculas sejam esferas rígidas de raio
, demonstre que o livre caminho médio é inversamente proporcional à seção de choque geométrica e ao número de moléculas por unidade de volume.
(b) Se o raio da molécula de oxigênio (
) é da ordem de
, estime a frequência de colisões das moléculas, em condições normais de temperatura e pressão. Explique como o conceito de livre caminho médio contorna o problema mencionado no enunciado da questão.
(a) Supondo que as moléculas sejam esferas rígidas de raio
(b) Se o raio da molécula de oxigênio (
Passo 1
O enunciado pede (a) mostrar que o livre caminho médio
de moléculas esféricas de raio
é inversamente proporcional à seção de choque geométrica e à densidade numérica
, e (b) usar
m para estimar a frequência de colisões em condições normais (NTP) e explicar por que o conceito de
resolve a aparente mistura instantânea de gases. Vamos aplicar noções básicas da Teoria Cinética: seção de choque e probabilidade de colisão.
Passo 2
Para derivar
, considere uma molécula-teste que, ao percorrer um comprimento
, “varre” um volume cilíndrico de base área igual à seção de choque
e comprimento
. A área efetiva para colisão entre duas esferas de raio
é
Se
é o número de moléculas por volume, o número médio de colisões ao percorrer
é
Definindo o livre caminho médio
como o valor de
que dá uma colisão em média, impomos
. Logo,
mostrando que
é inversamente proporcional à seção de choque geométrica
e à densidade numérica
.
Passo 3
Em NTP, a densidade é
Com
temos
Assim
Tomando a velocidade efetiva típica
, a frequência média de colisões
é
Passo 4
Embora cada molécula tenha alta velocidade, ela colide a cada
e muda de direção. O deslocamento macroscópico obedece a uma caminhada aleatória (difusão), cuja velocidade efetiva de mistura é muito menor que
. Assim, a mistura não é instantânea, mas sim limitada pelo livre caminho médio e pelo processo difusivo.
Resposta
(a)
, com
.
(b) . O conceito de
mostra que, apesar de alta velocidade, as colisões frequentes reduzem o passo livre de cada molécula, fazendo a mistura ocorrer por difusão e não instantaneamente.
(b)