Questão 10

As velocidades efetivas das moléculas de um gás, determinada por v_{e f}=\sqrt{\left\langle v^{2}\right\rangle}, correspondem a valores da ordem de 10^{2} e 10^{3} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Com base nesta informação, uma objeção à Teoria Cinética é que misturas gasosas deveriam ser instantâneas, o que não ocorre na prática.
(a) Supondo que as moléculas sejam esferas rígidas de raio r, demonstre que o livre caminho médio é inversamente proporcional à seção de choque geométrica e ao número de moléculas por unidade de volume.
(b) Se o raio da molécula de oxigênio ( \mathrm{O}_{2} ) é da ordem de 1,8 \times 10^{-10} \mathrm{~m}, estime a frequência de colisões das moléculas, em condições normais de temperatura e pressão. Explique como o conceito de livre caminho médio contorna o problema mencionado no enunciado da questão.

Passo 1

O enunciado pede (a) mostrar que o livre caminho médio \lambda de moléculas esféricas de raio r é inversamente proporcional à seção de choque geométrica e à densidade numérica n, e (b) usar r\approx1,8\times10^{-10} m para estimar a frequência de colisões em condições normais (NTP) e explicar por que o conceito de \lambda resolve a aparente mistura instantânea de gases. Vamos aplicar noções básicas da Teoria Cinética: seção de choque e probabilidade de colisão.

Passo 2

Para derivar \lambda, considere uma molécula-teste que, ao percorrer um comprimento \ell, “varre” um volume cilíndrico de base área igual à seção de choque \sigma e comprimento \ell. A área efetiva para colisão entre duas esferas de raio r é
\sigma \;=\;\pi\bigl(2r\bigr)^{2}\;=\;4\pi r^{2}.
Se n é o número de moléculas por volume, o número médio de colisões ao percorrer \ell é
N_{\rm colisões}=n\,\sigma\,\ell.õ
Definindo o livre caminho médio \lambda como o valor de \ell que dá uma colisão em média, impomos n\,\sigma\,\lambda=1. Logo,
\lambda \;=\;\frac{1}{n\,\sigma},
mostrando que \lambda é inversamente proporcional à seção de choque geométrica \sigma e à densidade numérica n.

Passo 3

Em NTP, a densidade é
n=\frac{p}{k_{B}T}\approx\frac{1,01\times10^{5}\,\mathrm{Pa}}{1,38\times10^{-23}\,\mathrm{J/K}\;\times273\,\mathrm{K}}\approx2,7\times10^{25}\,\mathrm{m^{-3}}.
Com r=1,8\times10^{-10}\,\mathrm{m} temos
\sigma=4\pi r^{2}\approx4\pi\,(1,8\times10^{-10})^{2}\approx4{,}1\times10^{-19}\,\mathrm{m^{2}}.
Assim
n\,\sigma\approx2{,}7\times10^{25}\times4{,}1\times10^{-19}\approx1{,}1\times10^{7}\,\mathrm{m^{-1}}.
Tomando a velocidade efetiva típica v_{ef}\sim5\times10^{2}\,\mathrm{m/s}, a frequência média de colisões f é
f=n\,\sigma\,v_{ef}\approx1{,}1\times10^{7}\times5\times10^{2}\approx5{,}5\times10^{9}\,\mathrm{s^{-1}}.

Passo 4

Embora cada molécula tenha alta velocidade, ela colide a cada \lambda\approx1/(n\sigma)\sim10^{-7}\,\mathrm{m} e muda de direção. O deslocamento macroscópico obedece a uma caminhada aleatória (difusão), cuja velocidade efetiva de mistura é muito menor que v_{ef}. Assim, a mistura não é instantânea, mas sim limitada pelo livre caminho médio e pelo processo difusivo.

Resposta

(a) \displaystyle \lambda=\dfrac{1}{n\,\sigma}, com \sigma=4\pi r^{2}.
(b) f\approx5\times10^{9}\,\mathrm{s^{-1}}. O conceito de \lambda mostra que, apesar de alta velocidade, as colisões frequentes reduzem o passo livre de cada molécula, fazendo a mistura ocorrer por difusão e não instantaneamente.

Exercícios relacionados