Questão 7

A distribuição de velocidades moleculares determinada por Maxwell, supondo um gás ideal monoatômico, obedece a seguinte densidade de probabilidade:
f\left(v_{x}, v_{y}, v_{z}\right)=\left(\frac{m}{2 \pi k_{B} T}\right)^{\frac{3}{2}} e^{-\frac{m}{2} \frac{\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\right)}{k_{B} T}}
onde v_{x}, v_{y} e v_{z} são as componentes cartesianas das velocidades moleculares, k_{B} é a constante de Boltzmann, m é a massa molecular e T é a temperatura.
(a) Calcule o valor médio das componentes da velocidade.
(b) Calcule o valor médio quadrático do módulo da velocidade molecular.
(c) Calcule a energia interna do gás ideal.

Passo 1

O enunciado apresenta a distribuição de velocidades de Maxwell para um gás ideal monoatômico em três dimensões,
f(v_x,v_y,v_z)=\Bigl(\frac{m}{2\pi k_B T}\Bigr)^{3/2}\exp\!\Bigl(-\frac{m(v_x^2+v_y^2+v_z^2)}{2k_B T}\Bigr),
e pede:
(a) o valor médio de cada componente v_x, v_y, v_z;
(b) o valor médio quadrático do módulo da velocidade, isto é, a velocidade quadrática média (rms);
(c) a energia interna do gás ideal.
Para resolver usamos propriedades de integrais gaussianas e a relação entre velocidade média quadrática e energia cinética.

Passo 2

Por simetria a distribuição é par em cada componente, logo
\langle v_x\rangle =\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}v_x\,f(v_x,v_y,v_z)\,dv_x\,dv_y\,dv_z =0.
O mesmo vale para \langle v_y\rangle e \langle v_z\rangle.

Passo 3

Primeiro calculamos \langle v^2\rangle=\langle v_x^2+v_y^2+v_z^2\rangle. Como as três componentes são idênticas e independentes,
\langle v_x^2\rangle =\int_{-\infty}^{\infty}v_x^2\sqrt{\frac{m}{2\pi k_B T}}\,e^{-\,\frac{m v_x^2}{2k_B T}}\,dv_x =\frac{k_B T}{m},
portanto
\langle v^2\rangle =3\,\frac{k_B T}{m}.
O valor médio quadrático do módulo da velocidade (rms) é
v_{\rm rms} =\sqrt{\langle v^2\rangle} =\sqrt{\frac{3k_B T}{m}}.

Passo 4

A energia interna de um gás ideal monoatômico com N moléculas é a soma da energia cinética média de cada molécula:
U=N\cdot\frac{1}{2}m\langle v^2\rangle =N\cdot\frac{1}{2}m\cdot\frac{3k_B T}{m} =\frac{3}{2}N k_B T.

Resposta

(a) \langle v_x\rangle=\langle v_y\rangle=\langle v_z\rangle=0.
(b) v_{\rm rms}=\sqrt{\dfrac{3k_B T}{m}}.
(c) U=\dfrac{3}{2}N k_B T.

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