Questão 7
A distribuição de velocidades moleculares determinada por Maxwell, supondo um gás ideal monoatômico, obedece a seguinte densidade de probabilidade:
onde
e
são as componentes cartesianas das velocidades moleculares,
é a constante de Boltzmann,
é a massa molecular e
é a temperatura.
(a) Calcule o valor médio das componentes da velocidade.
(b) Calcule o valor médio quadrático do módulo da velocidade molecular.
(c) Calcule a energia interna do gás ideal.
(a) Calcule o valor médio das componentes da velocidade.
(b) Calcule o valor médio quadrático do módulo da velocidade molecular.
(c) Calcule a energia interna do gás ideal.
Passo 1
O enunciado apresenta a distribuição de velocidades de Maxwell para um gás ideal monoatômico em três dimensões,
e pede:
(a) o valor médio de cada componente ;
(b) o valor médio quadrático do módulo da velocidade, isto é, a velocidade quadrática média (rms);
(c) a energia interna do gás ideal.
Para resolver usamos propriedades de integrais gaussianas e a relação entre velocidade média quadrática e energia cinética.
(a) o valor médio de cada componente
(b) o valor médio quadrático do módulo da velocidade, isto é, a velocidade quadrática média (rms);
(c) a energia interna do gás ideal.
Para resolver usamos propriedades de integrais gaussianas e a relação entre velocidade média quadrática e energia cinética.
Passo 2
Por simetria a distribuição é par em cada componente, logo
O mesmo vale para
e
.
Passo 3
Primeiro calculamos
. Como as três componentes são idênticas e independentes,
portanto
O valor médio quadrático do módulo da velocidade (rms) é
Passo 4
A energia interna de um gás ideal monoatômico com
moléculas é a soma da energia cinética média de cada molécula:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)