Questão 8

Uma forma alternativa à distribuição de velocidades discutida na questão anterior, é a distribuição dos módulos das velocidades de Maxwell, que pode ser construída a partir da seguinte expressão:
\frac{d N}{N}=g\left(v^{2}\right) v^{2} \operatorname{sen} \theta d v d \theta d \varphi
onde o primeiro membro define a probabilidade de encontrar a molécula com o módulo da velocidade entre v e v+d v, e com as coordenadas angulares para os intervalos \theta e \theta+d \theta, \varphi e \varphi+d \varphi.
(a) Determine a expressão da densidade de probabilidade em termos de g\left(v^{2}\right).
(b) Seja
g\left(v^{2}\right)=A e^{-\gamma v^{2}}
onde A e \gamma são constantes positivas. Determine as duas constantes em termos da temperatura.

Passo 1

O enunciado trata da distribuição de módulos de velocidade numa gás ideal segundo Maxwell. Temos a probabilidade diferencial
\frac{dN}{N}=g\bigl(v^{2}\bigr)\,v^{2}\sin\theta\,dv\,d\theta\,d\varphi
e queremos (a) achar a densidade de probabilidade f(v) em função de g(v^2), e (b) supondo
g\bigl(v^{2}\bigr)=A\,e^{-\gamma v^{2}},
determinar A e \gamma em termos da temperatura T.

Passo 2

Para obter a densidade unidimensional f(v), integra-mos sobre os ângulos \theta e \varphi. Como
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta\int_{0}^{2\pi}d\varphi=4\pi,
segue que
f(v)\,dv=\frac{dN}{N}=4\pi\,g\bigl(v^{2}\bigr)\,v^{2}\,dv.
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f(v)=4\pi\,v^{2}\,g\bigl(v^{2}\bigr).

Passo 3

Agora usamos g(v^2)=A e^{-\gamma v^2}. A condição de normalização \int_{0}^{\infty}f(v)\,dv=1
\int_{0}^{\infty}4\pi\,A\,v^{2}e^{-\gamma v^{2}}\,dv=1.
Sabendo que
\int_{0}^{\infty}v^{2}e^{-\gamma v^{2}}\,dv =\frac{\sqrt{\pi}}{4\,\gamma^{3/2}},
obtemos
4\pi\,A\;\frac{\sqrt{\pi}}{4\,\gamma^{3/2}}=1 \quad\Longrightarrow\quad A=\Bigl(\frac{\gamma}{\pi}\Bigr)^{3/2}.

Passo 4

Para relacionar \gamma com a temperatura, usamos a média da energia cinética
\bigl\langle\tfrac12 m v^{2}\bigr\rangle=\tfrac32 kT.
Calcula-se
\langle v^{2}\rangle =\int_{0}^{\infty}v^{2}f(v)\,dv =\frac{3}{2\,\gamma},
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\tfrac12\,m\,\frac{3}{2\,\gamma}=\tfrac32\,kT \quad\Longrightarrow\quad \gamma=\frac{m}{2\,kT}.

Resposta

A densidade de probabilidade para o módulo da velocidade é
f(v)=4\pi\,v^{2}\,g(v^{2})=4\pi\,A\,v^{2}e^{-\gamma v^{2}},
com
A=\Bigl(\frac{\gamma}{\pi}\Bigr)^{3/2}, \quad \gamma=\frac{m}{2\,kT},
ou, de modo equivalente,
g(v^{2})=\Bigl(\frac{m}{2\pi kT}\Bigr)^{3/2} \exp\!\bigl(-\tfrac{m v^{2}}{2kT}\bigr).

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