Questão 8
Uma forma alternativa à distribuição de velocidades discutida na questão anterior, é a distribuição dos módulos das velocidades de Maxwell, que pode ser construída a partir da seguinte expressão:
onde o primeiro membro define a probabilidade de encontrar a molécula com o módulo da velocidade entre
e
, e com as coordenadas angulares para os intervalos
e
,
e
.
(a) Determine a expressão da densidade de probabilidade em termos de
.
(b) Seja
onde
e
são constantes positivas. Determine as duas constantes em termos da temperatura.
(a) Determine a expressão da densidade de probabilidade em termos de
(b) Seja
Passo 1
O enunciado trata da distribuição de módulos de velocidade numa gás ideal segundo Maxwell. Temos a probabilidade diferencial
e queremos (a) achar a densidade de probabilidade
em função de
, e (b) supondo
determinar
e
em termos da temperatura
.
Passo 2
Para obter a densidade unidimensional
, integra-mos sobre os ângulos
e
. Como
segue que
Logo
Passo 3
Agora usamos
. A condição de normalização
dá
Sabendo que
obtemos
Passo 4
Para relacionar
com a temperatura, usamos a média da energia cinética
Calcula-se
logo
Resposta
A densidade de probabilidade para o módulo da velocidade é
com
ou, de modo equivalente,