Questão 100 (IME). Os coeficientes dos três primeiros termos do desenvolvimento de \left(x^{2}+\frac{1}{2 x}\right)^{n} coincidem cos os três primeiros termos de uma progressão aritmética. Encontre o 11^{\circ} termo da P.A.

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que ele pede, com tudo que é importante para resolver o problema.
  • Dado o desenvolvimento de \left(x^{2}+\dfrac{1}{2x}\right)^{n}.
  • Os coeficientes dos três primeiros termos desse desenvolvimento coincidem com os três primeiros termos de uma progressão aritmética (P.A.).
  • Pergunta: encontrar o 11^{\circ} termo da P.A.
Informações importantes a extrair já: o desenvolvimento produzido por essa expressão tem termos indexados por k=0,1,2,\dots,n. Os “três primeiros termos do desenvolvimento” correspondem aos termos com k=0,1,2. Vou trabalhar com isso a partir do Passo 2.

Passo 2

Explicação e fórmula do termo geral do binómio (passo-a-passo).
Quando expandimos \left(x^{2}+\dfrac{1}{2x}\right)^{n} pelo binómio de Newton, o termo geral associado a um índice k (começando em k=0) é
T_{k+1}=\binom{n}{k}\,(x^{2})^{\,n-k}\left(\frac{1}{2x}\right)^{k}.
Aqui:
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial, que vale \dfrac{n!}{k!(n-k)!}.
  • (x^{2})^{\,n-k}=x^{2(n-k)}.
  • \left(\dfrac{1}{2x}\right)^{k}=\dfrac{1}{2^{k}}\,x^{-k}.
Multiplicando as potências de x temos a potência total de x em T_{k+1}:
x^{2(n-k)}\cdot x^{-k}=x^{\,2n-3k}.
O coeficiente numérico (ou seja, o coeficiente que multiplica essa potência de x) é
c_k=\binom{n}{k}\frac{1}{2^{k}}.
Os três primeiros termos do desenvolvimento correspondem a k=0,1,2. Portanto os três coeficientes são:
c_0=\binom{n}{0}\frac{1}{2^{0}}=1,
c_1=\binom{n}{1}\frac{1}{2^{1}}=\frac{n}{2},
c_2=\binom{n}{2}\frac{1}{2^{2}}=\frac{n(n-1)}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{n(n-1)}{8}.

Passo 3

Condição de progressão aritmética e solução para n.
Três números c_0,c_1,c_2 são termos consecutivos de uma P.A. se e somente se o termo do meio for a média aritmética dos extremos. Ou seja:
c_1=\frac{c_0+c_2}{2}.
Substituindo os c_i que encontramos:
\frac{n}{2}=\frac{1+\dfrac{n(n-1)}{8}}{2}.
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
n=1+\frac{n(n-1)}{8}.
Tirando denominadores, multiplicando por 8:
8n=8+\;n(n-1).
Reescrevendo:
n(n-1)-8n+8=0.
Agrupando termos:
n^{2}-n-8n+8=0\quad\Rightarrow\quad n^{2}-9n+8=0.
Fatorando:
(n-1)(n-8)=0.
Portanto as soluções são n=1 ou n=8.

Passo 4

Escolha da solução válida e cálculo da P.A.
Devemos tomar a solução compatível com o enunciado: o desenvolvimento precisa ter pelo menos três termos, ou seja n+1\ge 3 n\ge 2. Assim n=1 não é aceitável porque daria só dois termos no desenvolvimento. Ficamos com n=8.
Com n=8, os três coeficientes (que formam a P.A.) valem:
c_0=1,\qquad c_1=\frac{8}{2}=4,\qquad c_2=\frac{8\cdot 7}{8}=7.
Logo a P.A. é 1,4,7,\dots. O primeiro termo é a_1=1 e a razão é
d=a_2-a_1=4-1=3.

Passo 5

Fórmula do termo geral da P.A. e cálculo do 11^{\circ} termo.
Lembrete: em uma P.A., o termo geral (o m-ésimo termo) é dado por
a_m=a_1+(m-1)d,
onde a_1 é o primeiro termo e d a razão.
Para m=11 temos
a_{11}=a_1+10d=1+10\cdot 3=1+30=31.

Resposta

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