Questão 100 (IME). Os coeficientes dos três primeiros termos do desenvolvimento de
coincidem cos os três primeiros termos de uma progressão aritmética. Encontre o
termo da P.A.
Passo 1
Vou listar o que o enunciado dá e o que ele pede, com tudo que é importante para resolver o problema.
- Dado o desenvolvimento de
. - Os coeficientes dos três primeiros termos desse desenvolvimento coincidem com os três primeiros termos de uma progressão aritmética (P.A.).
- Pergunta: encontrar o
termo da P.A.
Informações importantes a extrair já: o desenvolvimento produzido por essa expressão tem termos indexados por
. Os “três primeiros termos do desenvolvimento” correspondem aos termos com
. Vou trabalhar com isso a partir do Passo 2.
Passo 2
Explicação e fórmula do termo geral do binómio (passo-a-passo).
Quando expandimos
pelo binómio de Newton, o termo geral associado a um índice
(começando em
) é
Aqui:
-
é o coeficiente binomial, que vale . -
. -
.
Multiplicando as potências de
temos a potência total de
em
:
O coeficiente numérico (ou seja, o coeficiente que multiplica essa potência de
) é
Os três primeiros termos do desenvolvimento correspondem a
. Portanto os três coeficientes são:
Passo 3
Condição de progressão aritmética e solução para
.
Três números
são termos consecutivos de uma P.A. se e somente se o termo do meio for a média aritmética dos extremos. Ou seja:
Substituindo os
que encontramos:
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar:
Tirando denominadores, multiplicando por
:
Reescrevendo:
Agrupando termos:
Fatorando:
Portanto as soluções são
ou
.
Passo 4
Escolha da solução válida e cálculo da P.A.
Devemos tomar a solução compatível com o enunciado: o desenvolvimento precisa ter pelo menos três termos, ou seja
→
. Assim
não é aceitável porque daria só dois termos no desenvolvimento. Ficamos com
.
Com
, os três coeficientes (que formam a P.A.) valem:
Logo a P.A. é
. O primeiro termo é
e a razão é
Passo 5
Fórmula do termo geral da P.A. e cálculo do
termo.
Lembrete: em uma P.A., o termo geral (o
-ésimo termo) é dado por
onde
é o primeiro termo e
a razão.
Para
temos
Resposta
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