Questão 11 - Em cada um dos itens a seguir, calcule: (1) O gradiente da funąão, (2) O gradiente no ponto dado, (3) Determine a taxa de variąão de
em
na direção do vetor
.
e
.
Passo 1
O enunciado pede: (1) o gradiente de
, (2) esse gradiente em
e (3) a taxa de variação de
em
na direção de
. O conteúdo é cálculo multivariável: usamos derivadas parciais para obter o gradiente e depois o produto interno com o vetor unitário para a derivada direcional.
Passo 2
Para achar o gradiente, calculamos as derivadas parciais.
A derivada em relação a é
A derivada em relação a
pois tratamos
como constante.
A derivada em relação a usa regra da cadeia:
A derivada em relação a
A derivada em relação a
é análoga:
Logo,
Passo 3
Agora avaliamos em
. Aqui
e
.
Portanto
.
Passo 4
A taxa de variação na direção de
é o produto interno
Resposta
(1)
(2)
(3)
(2)
(3)