Questão 11 - Em cada um dos itens a seguir, calcule: (1) O gradiente da funąão, (2) O gradiente no ponto dado, (3) Determine a taxa de variąão de f em P na direção do vetor \vec{u}.
g(x, y, z)=x e^{2 y z}, P=(3,0,2) e \vec{u}=(2 / 7,3 / 7,6 / 7).

Passo 1

O enunciado pede: (1) o gradiente de g(x,y,z)=x e^{2yz}, (2) esse gradiente em P=(3,0,2) e (3) a taxa de variação de g em P na direção de \vec u=(2/7,3/7,6/7). O conteúdo é cálculo multivariável: usamos derivadas parciais para obter o gradiente e depois o produto interno com o vetor unitário para a derivada direcional.

Passo 2

Para achar o gradiente, calculamos as derivadas parciais.
A derivada em relação a x é
\frac{\partial g}{\partial x} = e^{2yz}\,,
pois tratamos e^{2yz} como constante.
A derivada em relação a y usa regra da cadeia:
\frac{\partial g}{\partial y} = x \cdot e^{2yz} \cdot \frac{d}{dy}(2yz) = x\,e^{2yz}\cdot2z =2xz\,e^{2yz}\,.
A derivada em relação a z é análoga:
\frac{\partial g}{\partial z} = x\,e^{2yz}\cdot\frac{d}{dz}(2yz) =2xy\,e^{2yz}\,.
Logo,
\nabla g(x,y,z) =\bigl(e^{2yz},\,2xz\,e^{2yz},\,2xy\,e^{2yz}\bigr).

Passo 3

Agora avaliamos em P=(3,0,2). Aqui yz=0\cdot2=0 e e^0=1.
\frac{\partial g}{\partial x}(3,0,2)=1, \quad \frac{\partial g}{\partial y}(3,0,2)=2\cdot3\cdot2\cdot1=12, \quad \frac{\partial g}{\partial z}(3,0,2)=2\cdot3\cdot0\cdot1=0.
Portanto \nabla g(3,0,2)=(1,\,12,\,0).

Passo 4

A taxa de variação na direção de \vec u é o produto interno
D_{\vec u}g(3,0,2) =\nabla g(3,0,2)\cdot\vec u =(1,12,0)\cdot\Bigl(\tfrac{2}{7},\tfrac{3}{7},\tfrac{6}{7}\Bigr) =\frac{1\cdot2+12\cdot3+0\cdot6}{7} =\frac{2+36}{7} =\frac{38}{7}.

Resposta

(1) \nabla g(x,y,z)=\bigl(e^{2yz},\,2xz\,e^{2yz},\,2xy\,e^{2yz}\bigr)
(2) \nabla g(3,0,2)=(1,\,12,\,0)
(3) D_{\vec u}g(3,0,2)=\tfrac{38}{7}

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