Questão 9 - Utiliza derivação implícita para calcular \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}.
x^{2}-y^{2}+z^{2}-2 z=4.

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x^{2}-y^{2}+z^{2}-2z=4
e pede as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}. Vamos usar derivação implícita, tratando z como função de x e y, ou seja, z=z(x,y).

Passo 2

Diferenciamos parcialmente em relação a x, mantendo y constante. Aplicando \partial/\partial x em cada termo:
\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x,\quad \frac{\partial}{\partial x}(-y^{2})=0,\quad \frac{\partial}{\partial x}(z^{2})=2z\,\frac{\partial z}{\partial x},\quad \frac{\partial}{\partial x}(-2z)=-2\,\frac{\partial z}{\partial x},\quad \frac{\partial}{\partial x}(4)=0.
Isso gera a equação
2x + 2z\,z_{x} - 2\,z_{x} = 0,
onde escrevemos z_{x}=\frac{\partial z}{\partial x}.

Passo 3

Agrupando termos em z_{x}:
2x + (2z-2)\,z_{x} = 0 \quad\Longrightarrow\quad z_{x} = -\frac{2x}{2z-2} = -\frac{x}{z-1}.

Passo 4

Agora diferenciamos parcialmente em relação a y, mantendo x constante. Aplicando \partial/\partial y:
\frac{\partial}{\partial y}(x^{2})=0,\quad \frac{\partial}{\partial y}(-y^{2})=-2y,\quad \frac{\partial}{\partial y}(z^{2})=2z\,\frac{\partial z}{\partial y},\quad \frac{\partial}{\partial y}(-2z)=-2\,\frac{\partial z}{\partial y},\quad \frac{\partial}{\partial y}(4)=0.
Isso leva a
-2y + 2z\,z_{y} - 2\,z_{y} = 0,
onde z_{y}=\frac{\partial z}{\partial y}.

Passo 5

Agrupando termos em z_{y}:
-2y + (2z-2)\,z_{y} = 0 \quad\Longrightarrow\quad z_{y} = \frac{2y}{2z-2} = \frac{y}{z-1}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x}{z-1}
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{z-1}

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