Questão 9 - Utiliza derivação implícita para calcular \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}.
x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=1.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície implícita
x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} = 1
e pede as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}. Vamos usar diferenciação implícita, tratando z como função de x e y.

Passo 2

Diferenciando a relação em relação a x, mantendo y constante e lembrando que z = z(x,y), temos:
  • Derivada de x^2 em relação a x: 2x.
  • Derivada de 2y^2 em relação a x: 0.
  • Derivada de 3z^2 em relação a x: 6z\,\frac{\partial z}{\partial x}.
    Somando e igualando a zero:
2x + 6z\,\frac{\partial z}{\partial x} = 0.
Isolando \frac{\partial z}{\partial x}:
6z\,\frac{\partial z}{\partial x} = -2x \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{2x}{6z} = -\frac{x}{3z}.

Passo 3

Diferenciando a relação em relação a y, mantendo x constante, temos:
  • Derivada de x^2 em relação a y: 0.
  • Derivada de 2y^2 em relação a y: 4y.
  • Derivada de 3z^2 em relação a y: 6z\,\frac{\partial z}{\partial y}.
    Somando e igualando a zero:
4y + 6z\,\frac{\partial z}{\partial y} = 0.
Isolando \frac{\partial z}{\partial y}:
6z\,\frac{\partial z}{\partial y} = -4y \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{4y}{6z} = -\frac{2y}{3z}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x}{3z}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{2y}{3z}.

Exercícios relacionados