Suponha que (1,1) seja um ponto crítico de f com derivadas de segunda ordem contínuas. Em cada caso, o que se pode dizer sobre (1,1)
f_{x x}(1,1)=-4, f_{x y}(1,1)=2 e f_{y y}(1,1)=3.

Passo 1

O enunciado diz que (1,1) é um ponto crítico de f com derivadas de segunda ordem contínuas e fornece
f_{xx}(1,1)=-4,\quad f_{xy}(1,1)=2,\quad f_{yy}(1,1)=3.
O objetivo é classificar esse ponto crítico usando o critério das segundas derivadas (Hessiano).

Passo 2

O critério das segundas derivadas define o discriminante
\Delta = f_{xx}(1,1)\,f_{yy}(1,1) - \bigl(f_{xy}(1,1)\bigr)^{2}.
As conclusões são:
\begin{cases} \Delta>0\text{ e }f_{xx}(1,1)>0 &\Rightarrow\text{mínimo local},\\\ \Delta>0\text{ e }f_{xx}(1,1)<0 &\Rightarrow\text{máximo local},\\\ \Delta<0 &\Rightarrow\text{ponto de sela},\\\ \Delta=0 &\Rightarrow\text{teste inconclusivo}. \end{cases}íá

Passo 3

Calculando \Delta:
\Delta = (-4)\cdot 3 - (2)^{2} = -12 - 4 = -16.

Passo 4

Como \Delta = -16 < 0, o Hessiano é indefinido, o que implica que (1,1) é um ponto de sela.

Resposta

(1,1) é um ponto de sela.

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