Questão 9. Determine a área da região limitada por:
y=\sqrt{x}, \quad y=0, \quad x=4

Passo 1

O enunciado pede para determinar a área da região limitada por:
y=\sqrt{x},\quad y=0,\quad x=4.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A curva superior é y=\sqrt{x}.
  • A curva inferior (ou limite inferior) é y=0 (o eixo x).
  • A região é cortada verticalmente por x=4.
  • Precisamos encontrar a área da região fechada por essas três curvas.

Passo 2

Entendendo o que significa “área sob a curva” (a ideia que vamos usar).
Quando queremos a área entre uma curva y=f(x) e o eixo x entre x=a e x=b, usamos a integral definida
\text{Área}=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.Á
Explicação simples do porquê: imagine dividir o intervalo [a,b] em muitos retângulos estreitos de largura \Delta x. A altura aproximada de cada retângulo é f(x) (em algum ponto do subintervalo). Somando as áreas dos retângulos e fazendo a divisão cada vez mais fina (limite quando \Delta x\to0) obtemos a integral. Aqui x é a variável horizontal e dx representa um pequeno incremento em x.

Passo 3

Determinar os limites de integração (onde a região começa e termina em x).
A região fica entre a curva y=\sqrt{x} e o eixo y=0. Onde essas duas se cruzam?
Resolvendo \sqrt{x}=0 obtemos x=0.
Além disso o enunciado impõe a reta vertical x=4 como o outro limite.
Portanto a região está entre x=0 e x=4. Os limites de integração são a=0 e b=4.

Passo 4

Montar a integral que representa a área.
Pelo passo anterior e pela regra da área sob a curva, temos
\text{Área}=\int_{0}^{4} \sqrt{x}\,dx.Á
Para manipular melhor, escrevemos \sqrt{x} como potência:
\sqrt{x}=x^{1/2}.
Assim a integral fica
\text{Área}=\int_{0}^{4} x^{1/2}\,dx.Á

Passo 5

Calcular a antiderivada usando a regra da potência.
Regra da potência para integração: para qualquer n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}. Aplicando a regra:
\int x^{1/2}\,dx=\frac{x^{(1/2)+1}}{(1/2)+1}+C=\frac{x^{3/2}}{3/2}+C.
Dividir por 3/2 é o mesmo que multiplicar por 2/3, então a antiderivada pode ser escrita como
\int x^{1/2}\,dx=\frac{2}{3}x^{3/2}+C.
Explicando os símbolos: C é a constante de integração (não necessária para integrais definidas), x^{3/2} é a potência de x igual a (\sqrt{x})^{3} ou (x^{1/2})^{3}.

Passo 6

Avaliar a integral definida com os limites 0 e 4.
Usando a antiderivada do passo anterior,
\text{Área}=\left.\frac{2}{3}x^{3/2}\right|_{0}^{4}=\frac{2}{3}\bigl(4^{3/2}\bigr)-\frac{2}{3}\bigl(0^{3/2}\bigr).Á
Calcular 4^{3/2}: primeiro a raiz quadrada 4^{1/2}=\sqrt{4}=2, depois elevar ao cubo: 2^{3}=8. Logo 4^{3/2}=8.
Substituindo:
\text{Área}=\frac{2}{3}\cdot 8 - \frac{2}{3}\cdot 0 = \frac{16}{3}.Á
Se quiser um valor decimal rápido: \tfrac{16}{3}\approx 5{,}333\ldots

Passo 7

Dica prática para prova: sempre que vir \sqrt{x} em uma integral, escreva como x^{1/2} e aplique a regra da potência. Para limites como x=4 com expoente fracionário, use primeiro a raiz (a parte /2) e depois a potência inteira para evitar erro de contas.

Resposta

\dfrac{16}{3}

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