Questão 9. Determine a área da região limitada por:
y=\sqrt{x}, \quad y=0, \quad x=4
Passo 1
O enunciado pede para determinar a área da região limitada por:
y=\sqrt{x},\quad y=0,\quad x=4.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
A curva superior é y=\sqrt{x}.
A curva inferior (ou limite inferior) é y=0 (o eixo x).
A região é cortada verticalmente por x=4.
Precisamos encontrar a área da região fechada por essas três curvas.
Passo 2
Entendendo o que significa “área sob a curva” (a ideia que vamos usar).
Quando queremos a área entre uma curva y=f(x) e o eixo x entre x=a e x=b, usamos a integral definida
\text{Área}=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Explicação simples do porquê: imagine dividir o intervalo [a,b] em muitos retângulos estreitos de largura \Delta x. A altura aproximada de cada retângulo é f(x) (em algum ponto do subintervalo). Somando as áreas dos retângulos e fazendo a divisão cada vez mais fina (limite quando \Delta x\to0) obtemos a integral. Aqui x é a variável horizontal e dx representa um pequeno incremento em x.
Passo 3
Determinar os limites de integração (onde a região começa e termina em x).
A região fica entre a curva y=\sqrt{x} e o eixo y=0. Onde essas duas se cruzam?
Resolvendo \sqrt{x}=0 obtemos x=0.
Além disso o enunciado impõe a reta vertical x=4 como o outro limite.
Portanto a região está entre x=0 e x=4. Os limites de integração são a=0 e b=4.
Passo 4
Montar a integral que representa a área.
Pelo passo anterior e pela regra da área sob a curva, temos
\text{Área}=\int_{0}^{4} \sqrt{x}\,dx.
Para manipular melhor, escrevemos \sqrt{x} como potência:
\sqrt{x}=x^{1/2}.
Assim a integral fica
\text{Área}=\int_{0}^{4} x^{1/2}\,dx.
Passo 5
Calcular a antiderivada usando a regra da potência.
Regra da potência para integração: para qualquer n\neq -1,
Dividir por 3/2 é o mesmo que multiplicar por 2/3, então a antiderivada pode ser escrita como
\int x^{1/2}\,dx=\frac{2}{3}x^{3/2}+C.
Explicando os símbolos: C é a constante de integração (não necessária para integrais definidas), x^{3/2} é a potência de x igual a (\sqrt{x})^{3} ou (x^{1/2})^{3}.
Passo 6
Avaliar a integral definida com os limites 0 e 4.
Usando a antiderivada do passo anterior,
Se quiser um valor decimal rápido: \tfrac{16}{3}\approx 5{,}333\ldots
Passo 7
Dica prática para prova: sempre que vir \sqrt{x} em uma integral, escreva como x^{1/2} e aplique a regra da potência. Para limites como x=4 com expoente fracionário, use primeiro a raiz (a parte /2) e depois a potência inteira para evitar erro de contas.