Questão 7. Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
A pergunta é: qual é o valor numérico exato dessa integral definida entre
e
?
Passo 2
Vamos primeiro reescrever o integrando numa forma que seja mais fácil de integrar. Note que
Reescrever potências em forma
é útil porque podemos usar a regra básica de integração de potências: se tivermos
com
, a antiderivada é obtida aumentando o expoente e dividindo pelo novo expoente. Aqui vou usar isso de modo direto, mas antes explico um passo auxiliar que deixa tudo formal.
Passo 3
Fazer a substituição simples
(isso só desloca a variável, não complica nada). Então
Os limites também mudam conforme essa substituição:
Portanto a integral vira
Passo 4
Agora aplicamos a regra de integração de potências: para
,
Aqui
, então
. Logo
Voltando à variável
, uma antiderivada de
é
(Verificação rápida:
, que é o integrando.)
Passo 5
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é
. Calculamos:
Subtraindo,
Passo 6
Checagem rápida (opcional): se quiser aproximar numericamente,
, então
. Faz sentido como valor positivo razoável para a área sob a curva no intervalo dado.