Questão 7. Calcule:
\int_{0}^{4} \frac{1}{\sqrt{x+1}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{4} \frac{1}{\sqrt{x+1}}\,dx.
Informações dadas:
\text{limite inferior } = 0,\qquad \text{limite superior } = 4,
\text{integrando } = \frac{1}{\sqrt{x+1}}.
A pergunta é: qual é o valor numérico exato dessa integral definida entre 0 e 4?

Passo 2

Vamos primeiro reescrever o integrando numa forma que seja mais fácil de integrar. Note que
\frac{1}{\sqrt{x+1}} = (x+1)^{-\tfrac12}.
Reescrever potências em forma (\cdot)^{n} é útil porque podemos usar a regra básica de integração de potências: se tivermos (\text{expressão})^{n}ã com n\neq -1, a antiderivada é obtida aumentando o expoente e dividindo pelo novo expoente. Aqui vou usar isso de modo direto, mas antes explico um passo auxiliar que deixa tudo formal.

Passo 3

Fazer a substituição simples u = x+1 (isso só desloca a variável, não complica nada). Então
u = x+1 \quad\Rightarrow\quad du = dx.
Os limites também mudam conforme essa substituição:
\text{quando } x=0,\; u=0+1=1;\qquad \text{quando } x=4,\; u=4+1=5.
Portanto a integral vira
\int_{0}^{4} (x+1)^{-\tfrac12}\,dx = \int_{1}^{5} u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 4

Agora aplicamos a regra de integração de potências: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=-\tfrac12, então n+1 = \tfrac12. Logo
\int u^{-\tfrac12}\,du = \frac{u^{\tfrac12}}{\tfrac12} + C = 2u^{\tfrac12} + C = 2\sqrt{u} + C.
Voltando à variável x, uma antiderivada de (x+1)^{-\tfrac12} é
F(x) = 2\sqrt{x+1}.
(Verificação rápida: \dfrac{d}{dx}\bigl(2\sqrt{x+1}\bigr)=2\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}, que é o integrando.)

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é F(4)-F(0). Calculamos:
F(4)=2\sqrt{4+1}=2\sqrt{5},
F(0)=2\sqrt{0+1}=2\sqrt{1}=2.
Subtraindo,
\int_{0}^{4} \frac{1}{\sqrt{x+1}}\,dx = 2\sqrt{5}-2.

Passo 6

Checagem rápida (opcional): se quiser aproximar numericamente, \sqrt{5}\approx 2{,}236, então 2\sqrt{5}-2\approx 4{,}472-2=2{,}472. Faz sentido como valor positivo razoável para a área sob a curva no intervalo dado.

Resposta

2\sqrt{5}-2

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