Questão 11. Calcule as integrais abaixo:
integral (x+1)raizx^2+2 x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral
integral x+1raizx^2+2x,dx
Isso envolve uma raiz de expressão quadrática, então faz sentido usar uma substituição que simplifique o radicando.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = x + 1, dt = dx
Note que
x^2+2x = (x+1)^2-1 = t^2-1,
então a integral vira
integral traizt^2-1,dt

Passo 3

Reconhecemos que a derivada de raizt^2-1 é exatamente
ddtl(raizt^2-1r) = traizt^2-1
Logo
integral traizt^2-1,dt = raizt^2-1 + C

Passo 4

Voltando à variável original x, temos t = x+1, então
raizt^2-1 = raiz(x+1)^2-1 = raizx^2+2x,
e a primitiva fica
raizx^2+2x + C

Resposta

raizx^2+2x + C

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