Sejam f(x) e g(y) duas funções contínuas nos intervalos [a, b] e [c, d], respectivamente. Isto é, f só depende de x e g só depende de y. Assim a integral dupla pode ser dividida em duas integrais simples definidas. Isto é, temos que
integral duplaA f(x) cdot g(y) d x d y=(integrala^b f(x) d x) cdot(integralc^d g(y) d y)
onde A=[a, b] times[c, d].
Utilizando esse resultado do enunciado, calcule:
integral duplaA x ln y d x d y, onde A=[0,2] times[1,2]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaA x ln(y),dx,dy,
sendo A=[0,2]times[1,2]. Como o integrando é um produto de uma função que depende só de x, f(x)=x, por um lado, e de outra que depende só de y, g(y)=ln(y), por outro, podemos usar o fato de que
integral duplaAf(x),g(y),dx,dy=l(integral0^2f(x),dxr),l(integral1^2g(y),dyr)
Logo, basta calcular duas integrais simples.

Passo 2

Calcular a integral em x:
integral0^2x,dx
Usamos a regra de potência:
integral x,dx=x^22+C
Assim,
integral0^2x,dx=x^22|0^2 =2^22-0^22 =2

Passo 3

Calcular a integral em y:
integral1^2ln(y),dy
Fazemos integração por partes, escolhendo
u=ln(y)e dv=dy,
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du=1y,dy e v=y
A fórmula integral u,dv = uv - integral v,du
integralln(y),dy =yln(y)-integral ycdot1y,dy =yln(y)-integral 1,dy =yln(y)-y+C
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integral1^2ln(y),dy =l[yln(y)-yr]1^2 =l(2ln(2)-2r)-l(1cdotln(1)-1r) =2ln(2)-2-(0-1) =2ln(2)-1

Passo 4

Multiplicamos os resultados das integrais simples:
integral duplaAxln(y),dx,dy =l(integral0^2x,dxr),l(integral1^2ln(y),dyr) =2cdotl(2ln(2)-1r) =4ln(2)-2

Resposta

4ln(2)-2

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