Questão 11. Calcule as integrais abaixo:
integral(sin x+x^2raiz1+x^2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integrall(sin x + x^2raiz1+x^2r),dx
O conteúdo envolvido é a técnica de soma de integrais e, para a parte racional com raiz, a ideia é decompor o numerador para usar integrais conhecidas de raiz1+x^2 e de 1/raiz1+x^2.

Passo 2

Separemos a integral em duas partes, aproveitando a linearidade:
integralsin x,dx ;+;integralx^2raiz1+x^2,dx

Passo 3

A primeira parte é imediata, pois
integralsin x,dx = -cos x + C1

Passo 4

Para a segunda parte, note que x^2 = (1+x^2)-1, então
integralx^2raiz1+x^2,dx = integral1+x^2raiz1+x^2,dx ;-;integral1raiz1+x^2,dx = integralraiz1+x^2,dx ;-;integral1raiz1+x^2,dx

Passo 5

Usamos duas fórmulas padrão:
integralraiz1+x^2,dx = x2raiz1+x^2 +12lnl(x+raiz1+x^2r) + C2,
integral1raiz1+x^2,dx = arcsinh(x) = lnl(x+raiz1+x^2r) + C3
Subtraindo-as obtemos
integralx^2raiz1+x^2,dx = x2raiz1+x^2 +12lnl(x+raiz1+x^2r) -lnl(x+raiz1+x^2r) +C4
= x2raiz1+x^2 -12lnl(x+raiz1+x^2r) + C4

Passo 6

Reunindo as duas parcelas e absorvendo todas as constantes num único C, temos
integrall(sin x + x^2raiz1+x^2r),dx = -cos x + x2raiz1+x^2 -12lnl(x+raiz1+x^2r) + C

Resposta

-cos x + x2raiz1+x^2 -12lnl(x+raiz1+x^2r) + C

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