Questão 11. Calcule as integrais abaixo:
integral(raiz1+x^2+2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integrall(raiz1+x^2+2xr),dx
O conteúdo aqui é integração de soma de funções, onde vamos usar a propriedade da linearidade e uma técnica clássica (integração por partes) para integralraiz1+x^2,dx.

Passo 2

Separe a integral em duas partes usando linearidade:
integrall(raiz1+x^2+2xr),dx = integralraiz1+x^2,dx + integral 2x,dx

Passo 3

Calcule a parte mais simples, integral 2x,dx.
Como integral x,dx=tfracx^22, segue que
integral 2x,dx =2cdotx^22 = x^2

Passo 4

Agora calcule integralraiz1+x^2,dx por partes. Escolha
u=raiz1+x^2, dv=dx
então
du=xraiz1+x^2,dx, v=x
A fórmula de partes dá
integralraiz1+x^2,dx = xraiz1+x^2 - integral xcdotxraiz1+x^2,dx = xraiz1+x^2 - integralx^2raiz1+x^2,dx
Reescreva x^2=(1+x^2)-1 no numerador:
integralraiz1+x^2,dx = xraiz1+x^2 - integral1+x^2raiz1+x^2,dx + integral1raiz1+x^2,dx
Isso é
integralraiz1+x^2,dx = xraiz1+x^2 - integralraiz1+x^2,dx + integral1raiz1+x^2,dx
Passe integralraiz1+x^2,dx para o lado esquerdo:
2integralraiz1+x^2,dx = xraiz1+x^2 + integral1raiz1+x^2,dx
Mas
integral1raiz1+x^2,dx =arsinh(x) =lnl(x+raiz1+x^2r)
Logo
integralraiz1+x^2,dx =xraiz1+x^22 +12lnl(x+raiz1+x^2r)

Passo 5

Junte as duas partes:
integrall(raiz1+x^2+2xr),dx = underbracexraiz1+x^22 +12lnl(x+raiz1+x^2r)integralraiz1+x^2,dx + underbracex^2integral2x,dx + C

Resposta

boxed integrall(raiz1+x^2+2xr),dx = x^2 +xraiz1+x^22 +12lnl(x+raiz1+x^2r) + C

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