Questão 11.
Calcule os limites a seguir (do tipo +infty-infty ):
(a) lim x +infty ln (x^2-1)-ln (x+1)
(b) lim x +infty raizx+2-raizx
(c) lim x +infty raizx^2+2-x
(d) lim x +infty raizx^2+4 x-x

Passo 1

O enunciado pede para calcular quatro limites do tipo “ +infty-infty”. Vamos usar propriedade de logaritmos para o item (a) e técnicas de racionalização (ou expansão) para os itens (b), (c) e (d).

Passo 2

Para (a) usemos ln(a)-ln(b)=lnl(tfracabr). Assim,
limxto+inftyl[ln(x^2-1)-ln(x+1)r] =limxto+inftyln!l(x^2-1x+1r)
Note que
x^2-1x+1 = x-1,
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limxto+inftyln(x-1)=+infty

Passo 3

Para (b) racionalizamos raizx+2-raizx multiplicando pelo conjugado:
raizx+2-raizx =(raizx+2-raizx)(raizx+2+raizx)raizx+2+raizx =(x+2)-xraizx+2+raizx =2raizx+2+raizx
Como raizx+2+raizxto+infty, temos
limxto+infty(raizx+2-raizx)=0

Passo 4

Para (c) racionalizamos raizx^2+2-x:
raizx^2+2-x =(x^2+2)-x^2raizx^2+2+x =2raizx^2+2+x
Como raizx^2+2sim x quando xto+infty, o denominador cresce como 2x, logo o quociente tende a 0:
limxto+infty(raizx^2+2-x)=0

Passo 5

Para (d) racionalizamos raizx^2+4x-x:
raizx^2+4x-x =(x^2+4x)-x^2raizx^2+4x+x =4xraizx^2+4x+x =4raiz1+4/x+1
Como raiz1+4/xto1 para xto+infty, obtemos
limxto+infty(raizx^2+4x-x) =41+1=2

Resposta

(a) +infty
(b) 0
(c) 0
(d) 2

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