Um cilindro infinitamente longo de raio possui uma densidade volumétrica de carga , onde e é a distância ao eixo do cilindro.
(a) Utilizando a Lei de Gauss, determine o campo elétrico em função da distância ao eixo do cilindro para e .
(b) Faça um gráfico qualitativo do módulo do campo elétrico em função de .
Passo 1
Então, o exercício fala de um cilindro infinito de raio com densidade volumétrica de carga que varia radialmente como
sendo .
Conteúdo: Lei de Gauss aplicada a simetria cilíndrica.
O que precisamos:
Entender a Lei de Gauss (),
Escolher superfície gaussiana cilíndrica,
Calcular a carga interna () via integral da ,
Obter para e para .
Fazer um esboço qualitativo de vs. .
Passo 2
Lei de Gauss e simetria: como o cilindro é infinito e a densidade só depende de , o campo elétrico também só tem componente radial .
Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio e comprimento .
Aplicando Gauss:
O trabalho agora é achar para cada caso.
Passo 3
Caso 1: .
A carga interna é obtida por
Passo 4
Substituindo em Gauss para :
Logo, para :
sempre apontando para fora.
Passo 5
Caso 2: .
Agora toda a carga do cilindro de raio está dentro da superfície gaussiana.
Calcule :
Então, pela Lei de Gauss:
Assim, para :
Passo 6
Gráfico qualitativo de vs. :
De até , cresce como (curva para cima bem rápida).
Em o valor é contínuo, .
Para , decresce como (hiperbólica).
Resposta
E® =
Gráfico: cresce até , atinge pico em , depois decresce .