Questão 11

Um cilindro infinitamente longo de raio R=2 cm possui uma densidade volumétrica de carga rho(r)=rho0(r / R), onde rho0=5 times 10^-6 C / m^3 e r é a distância ao eixo do cilindro.
(a) Utilizando a Lei de Gauss, determine o campo elétrico em função da distância r ao eixo do cilindro para r e r>R.
(b) Faça um gráfico qualitativo do módulo do campo elétrico em função de r.

Passo 1

Então, o exercício fala de um cilindro infinito de raio rho(r)=rho0,rR, com densidade volumétrica de carga que varia radialmente como
sendo .
Conteúdo: Lei de Gauss aplicada a simetria cilíndrica.
O que precisamos:
  1. Entender a Lei de Gauss ( ),
  2. Escolher superfície gaussiana cilíndrica,
  3. Calcular a carga interna ( ) via integral da ,
  4. Obter para e para .
  5. Fazer um esboço qualitativo de vs. .

Passo 2

Lei de Gauss e simetria: como o cilindro é infinito e a densidade só depende de oint Ecdot d A = E(r),(2pi r L) = Qintvarepsilon0 , o campo elétrico também só tem componente radial .
Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio e comprimento .
Aplicando Gauss:
O trabalho agora é achar para cada caso.

Passo 3

Caso 1: Qint(r) = integral0^r rho(r'),dV = integral0^r rho0r'R,(2pi r' L,dr') = 2pi Lrho0Rintegral0^r r'^2,dr' = 2pi Lrho0R,r^33 .
A carga interna é obtida por

Passo 4

Substituindo em Gauss para E(r),2pi r L = 1varepsilon0,2pi Lrho0R,r^33 Longrightarrow E(r) = rho0varepsilon0,r^23R :
boxedE(r)=rho03varepsilon0,R,r^2,(para (r
Logo, para :
sempre apontando para fora.

Passo 5

Caso 2: Qtot = 2pi Lrho0R,R^33 = 2pi Lrho0,R^23 .
Agora toda a carga do cilindro de raio E(r),2pi r L = Qtotvarepsilon0 Longrightarrow E(r)=12pi r Lvarepsilon0,2pi Lrho0,R^23 = rho0,R^23varepsilon0,r está dentro da superfície gaussiana.
Calcule boxedE(r)=rho0,R^23varepsilon0,r,(para (r>R)) :
Então, pela Lei de Gauss:
Assim, para :

Passo 6

Gráfico qualitativo de vs. :
  • De até , cresce como (curva para cima bem rápida).
  • Em o valor é contínuo, .
  • Para , decresce como (hiperbólica).

Resposta

E® =
rho03varepsilon0,R,r^2, & rR
Gráfico: cresce até , atinge pico em , depois decresce .

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