QUESTÃO 11.
Considere a função f:[1,9] \rightarrow \mathbb{R}, definida por
f(x)=\left\{\begin{array}{r} 6-x, \text { se } 1 \leq x<4 \\\ x^{2}-12 x+34, \text { se } 4 \leq x \leq 9 \end{array}\right.
Qual é o conjunto imagem da função f ?
(A) [-2,5]
(B) [-2,7]
(C) [1,9]
(D) [2,5]
(E) [5,7]

Passo 1

O enunciado dá uma função definida por partes em [1,9]\) e pede o conjunto imagem (todos os valores que \(f\) atinge). As informações fornecidas são: \[f(x)=\begin{cases} 6-x, & \text{se } 1\le x<4,\\[4pt] x^{2}-12x+34, & \text{se } 4\le x\le 9. \end{cases}
O que se pede: determinar o conjunto ({y\in\mathbb{R}\mid y=f(x)para algumx\in[1,9]}].]

Passo 2

Analisar a primeira parte \,f(x)=6-x no intervalo [1,4).
Explicação do conceito usado: uma função linear ax+b é monotônica (cresce se a>0, decresce se a<0); seus valores no intervalo são obtidos nos extremos do intervalo.
Aqui o coeficiente de x é -1, logo a função é decrescente. Calcular valores nas extremidades do domínio dessa peça:
f(1)=6-1=5.
Ao aproximar x de 4 pela esquerda,
\lim_{x\to4^-}f(x)=6-4=2.
Como o ponto x=4 não pertence a esta parte (é aberto à direita), o valor 2 não é obtido por essa primeira peça, apenas é limite. Portanto a imagem da primeira peça é
(2,5].
(isto significa: todos os números maiores que 2 e menores ou iguais a 5.)

Passo 3

Analisar a segunda parte \,f(x)=x^{2}-12x+34 no intervalo [4,9].
Explicação do conceito usado: uma parábola x^{2}+bx+c tem vértice em x=-b/2 e para escrever o valor mínimo/máximo é útil completar o quadrado.
Completar o quadrado:
x^{2}-12x+34 = (x^{2}-12x+36)-2 = (x-6)^{2}-2.
Dessa forma fica claro que a parábola tem vértice em x=6 e o valor mínimo (no eixo real) é -2 atingido em x=6. Como o domínio dessa peça é [4,9], verificamos onde o mínimo/máximo do trecho ocorrem:
  • Valor em x=6:
f(6)=(6-6)^{2}-2=-2.
  • Valor em x=4:
f(4)=4^{2}-12\cdot4+34=16-48+34=2.
  • Valor em x=9:
f(9)=9^{2}-12\cdot9+34=81-108+34=7.
A parábola tem mínimo -2 em x=6 e é crescente para x>6; assim, sobre [4,9] o valor mínimo é -2 (em x=6) e o maior valor ocorre em x=9, que é 7. Como a função é contínua em [4,9], ela assume todos os valores entre -2 e 7. Portanto a imagem da segunda peça é
[-2,7].

Passo 4

Unir as imagens das duas peças para obter a imagem total em [1,9].
Temos imagem da primeira peça (2,5] e da segunda peça [-2,7]. A união é
(2,5]\cup[-2,7]=[-2,7],
porque [-2,7] já contém todos os valores de (2,5] e mais (inclui -2 e 7 e o próprio 2 — note que 2 é atingido pela segunda peça em x=4, e 5 é atingido pela primeira peça em x=1).

Resposta

(B) [-2,7]

Exercícios relacionados