QUESTÃO 11.
Considere a função
, definida por
Qual é o conjunto imagem da função
?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Considere a função
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá uma função definida por partes em
O que se pede: determinar o conjunto ({y\in\mathbb{R}\mid y=f(x)para algumx\in[1,9]}].]
Passo 2
Analisar a primeira parte
no intervalo
.
Explicação do conceito usado: uma função linear
é monotônica (cresce se
, decresce se
); seus valores no intervalo são obtidos nos extremos do intervalo.
Aqui o coeficiente de
é
, logo a função é decrescente. Calcular valores nas extremidades do domínio dessa peça:
Ao aproximar
de
pela esquerda,
Como o ponto
não pertence a esta parte (é aberto à direita), o valor
não é obtido por essa primeira peça, apenas é limite. Portanto a imagem da primeira peça é
(isto significa: todos os números maiores que
e menores ou iguais a
.)
Passo 3
Analisar a segunda parte
no intervalo
.
Explicação do conceito usado: uma parábola
tem vértice em
e para escrever o valor mínimo/máximo é útil completar o quadrado.
Completar o quadrado:
Dessa forma fica claro que a parábola tem vértice em
e o valor mínimo (no eixo real) é
atingido em
. Como o domínio dessa peça é
, verificamos onde o mínimo/máximo do trecho ocorrem:
- Valor em
:
- Valor em
:
- Valor em
:
A parábola tem mínimo
em
e é crescente para
; assim, sobre
o valor mínimo é
(em
) e o maior valor ocorre em
, que é
. Como a função é contínua em
, ela assume todos os valores entre
e
. Portanto a imagem da segunda peça é
Passo 4
Unir as imagens das duas peças para obter a imagem total em
.
Temos imagem da primeira peça
e da segunda peça
. A união é
porque
já contém todos os valores de
e mais (inclui
e
e o próprio
— note que
é atingido pela segunda peça em
, e
é atingido pela primeira peça em
).
Resposta
(B)