Questão 11: Considere o operador linear T: R^{3} \rightarrow R^{3} tal que T(x, y, z)=(x+3 y, 3 x+y, 3 x+3 y-2 z).
a. Determine os autovalores e os autovetores de T.
b. Determine uma base tal que [T]_{\alpha}^{\alpha} seja diagonal e descreva [T]_{\alpha}^{\alpha}.
c. Determine matrizes A e A^{-1} tal que [T]_{\alpha}^{\alpha}=A \cdot[T]_{C}^{C} \cdot A^{-1}, onde C é a base canônica de R^{3} e [T]_{\alpha}^{\alpha} é a matriz diagonal encontrada no item (b.).
Passo 1
O enunciado define T\colon \mathbb R^3\to\mathbb R^3 por
T(x,y,z) = (\,x+3y,\;3x+y,\;3x+3y-2z)
e pede:
a) os autovalores e autovetores de T;
b) uma base \alpha que torne [T]_{\alpha}^{\alpha} diagonal e qual é essa matriz diagonal;
c) matrizes A e A^{-1} tais que
[T]_{\alpha}^{\alpha}\;=\;A\,[T]_{C}^{C}\,A^{-1},
onde C é a base canônica.
Para isso vamos usar:
cálculo do polinômio característico de [T]_{C}^{C};
resolução dos sistemas (T-\lambda I)v=0 para cada autovalor \lambda;
formação da base de autovetores e da matriz de mudança de base.
a) Autovalores: \lambda_{1}=4 e \lambda_{2}=-2 (multiplicidade 2).
Autovetores correspondentes: \displaystyle v_{1}=(1,1,1) para \lambda_{1}=4, \displaystyle v_{2}=(1,-1,0) e v_{3}=(0,0,1) para \lambda_{2}=-2.
b) A base \alpha=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} diagonaliza T e