Questão 11: Considere o operador linear T: R^{3} \rightarrow R^{3} tal que T(x, y, z)=(x+3 y, 3 x+y, 3 x+3 y-2 z).
a. Determine os autovalores e os autovetores de T.
b. Determine uma base tal que [T]_{\alpha}^{\alpha} seja diagonal e descreva [T]_{\alpha}^{\alpha}.
c. Determine matrizes A e A^{-1} tal que [T]_{\alpha}^{\alpha}=A \cdot[T]_{C}^{C} \cdot A^{-1}, onde C é a base canônica de R^{3} e [T]_{\alpha}^{\alpha} é a matriz diagonal encontrada no item (b.).

Passo 1

O enunciado define T\colon \mathbb R^3\to\mathbb R^3 por
T(x,y,z) = (\,x+3y,\;3x+y,\;3x+3y-2z)
e pede:
a) os autovalores e autovetores de T;
b) uma base \alpha que torne [T]_{\alpha}^{\alpha} diagonal e qual é essa matriz diagonal;
c) matrizes A e A^{-1} tais que
[T]_{\alpha}^{\alpha}\;=\;A\,[T]_{C}^{C}\,A^{-1},
onde C é a base canônica.
Para isso vamos usar:
  1. cálculo do polinômio característico de [T]_{C}^{C};
  2. resolução dos sistemas (T-\lambda I)v=0 para cada autovalor \lambda;
  3. formação da base de autovetores e da matriz de mudança de base.

Passo 2

Na base canônica C temos
[T]_{C}^{C} =\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0\\\\ 3 & 1 & 0\\\\ 3 & 3 & -2 \end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\det\bigl([T]_{C}^{C}-\lambda I\bigr) =\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 3 & 0\\\\ 3 & 1-\lambda & 0\\\\ 3 & 3 & -2-\lambda \end{pmatrix} =(-2-\lambda)\bigl((1-\lambda)^2-9\bigr).
Como (1-\lambda)^2-9=(\lambda-4)(\lambda+2), segue
\det([T]_{C}^{C}-\lambda I) =-(\lambda+2)^2(\lambda-4).
Logo os autovalores são
\lambda_{1}=4\quad\text{(multiplicidade 1)}, \qquad \lambda_{2}=-2\quad\text{(multiplicidade 2)}.

Passo 3

Agora achamos os autovetores.
Para \lambda_{1}=4\) resolvemos \[\bigl[T]_{C}^{C}-4I\bigr)v=0 \;\Longrightarrow\; \begin{cases} -3x+3y=0,\\\\ 3x-3y=0,\\\\ 3x+3y-6z=0. \end{cases}
Isso dá x=y\] e \[2x=2z, ou seja z=x. Um autovetor não nulo é
v_{1}=(1,1,1).
Para \lambda_{2}=-2 resolvemos
\bigl[T]_{C}^{C}+2I\bigr)v=0 \;\Longrightarrow\; \begin{cases} 3x+3y=0,\\\\ 3x+3y=0,\\\\ 3x+3y=0, \end{cases}
logo y=-x\] e \(z livre. Dois vetores independentes são
v_{2}=(1,-1,0), \qquad v_{3}=(0,0,1).

Passo 4

Tomando a base de autovetores
\alpha = \{\,v_{1},\,v_{2},\,v_{3}\} =\{(1,1,1),\,(1,-1,0),\,(0,0,1)\},
a matriz de T nessa base fica diagonal, com as entradas na ordem \{v_1,v_2,v_3\}:
[T]_{\alpha}^{\alpha} =\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0\\\\ 0 & -2 & 0\\\\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 5

Para relacionar [T]_{C}^{C} e [T]_{\alpha}^{\alpha} usamos a matriz P cujas colunas são os autovetores em coordenadas canônicas:
P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Então vale
P^{-1}\,[T]_{C}^{C}\,P =[T]_{\alpha}^{\alpha} =\mathrm{diag}(4,-2,-2).
Como o enunciado pede A e A^{-1} tais que
[T]_{\alpha}^{\alpha} = A\,[T]_{C}^{C}\,A^{-1},
basta escolher
A = P^{-1}, \qquad A^{-1}=P.
Calculando P^{-1} (determinante -2), obtemos
A = P^{-1} =\frac12 \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}, \qquad A^{-1}=P =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

a) Autovalores: \lambda_{1}=4 e \lambda_{2}=-2 (multiplicidade 2).
Autovetores correspondentes:
\displaystyle v_{1}=(1,1,1) para \lambda_{1}=4,
\displaystyle v_{2}=(1,-1,0) e v_{3}=(0,0,1) para \lambda_{2}=-2.
b) A base \alpha=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} diagonaliza T e
[T]_{\alpha}^{\alpha} =\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0\\\\ 0 & -2 & 0\\\\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}.
c) Tomando
P=\bigl[v_{1}\;v_{2}\;v_{3}\bigr] =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix},
então
A = P^{-1} =\frac12 \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}, \quad A^{-1} = P,
cumpre
[T]_{\alpha}^{\alpha} \;=\; A\,[T]_{C}^{C}\,A^{-1}.

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